Matrice ortogonale

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice quadrata che può essere definita in vari modi diversi, tutti equivalenti:

Una matrice invertibile la cui trasposta coincide con la sua inversa;
Una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo;
Una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Secondo la prima definizione, $G$ è ortogonale se e solo se

$G\cdot G^T = G^T\cdot G = I_n.$

Si possono considerare matrici ortogonali con valori in un qualsiasi campo, ma il caso più comune è quello di matrici con valori reali, e solamente questo caso sarà preso in considerazione nel resto di questa voce.

Indice

1 Proprietà basilari
- 1.1 Basi ortonormali
- 1.2 Isometrie
2 Gruppo ortogonale
3 Matrice ortogonale speciale
4 Autovalori e decomposizioni
5 Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford
6 Generalizzazioni
7 Voci correlate

[modifica] Proprietà basilari

[modifica] Basi ortonormali

Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo Rⁿ con l'ordinario prodotto scalare. In effetti questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione G G^T = I_n.

Rileggendo similmente la relazione G^T G = I_n, si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di Rⁿ.

[modifica] Isometrie

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di Rⁿ che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se V è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita su cui è definito un prodotto scalare definito positivo, e f : V → V è un'applicazione lineare con

$\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$

per tutti gli elementi x, y di V, allora f è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di V da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

[modifica] Gruppo ortogonale

Per approfondire, vedi la voce gruppo ortogonale.

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale. Analogamente, il prodotto di due ortogonali è ortogonale. Infatti,

$(G\cdot H)\cdot (G\cdot H)^T = G\cdot H\cdot H^T\cdot G^T = G\cdot G^T = I .$

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali n×n forma un gruppo. Questo è un gruppo di Lie, chiamato gruppo ortogonale e indicato con O(n).

La sua dimensione è n(n − 1)/2. Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli n² numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle n² uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici (i,j) che vanno da 1 a n; ma l'equazione relativa a (i,j) con i < j equivale a quella relativa a (j,i) e quindi in verità ci sono solo n(n + 1)/2 equazioni "indipendenti", e quindi n(n − 1)/2 gradi di libertà.

[modifica] Matrice ortogonale speciale

Il determinante di ogni matrice ortogonale è 1 o −1. Questo si può dimostrare come segue:

$1 = \det(I) = \det(G\cdot G^T) = \det(G)\det(G^T) = (\det(G))^2 .$

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di O(n) di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato SO(n).

[modifica] Autovalori e decomposizioni

[modifica] Autovalori

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto 1. Autovettori relativi a differenti autovalori sono ortogonali.

[modifica] Decomposizioni lungo piani

Data una matrice ortogonale Q, esiste una matrice ortogonale P tale che

$P^{-1}QP = \begin{pmatrix} R_1 \\ & R_2 \\ & & \ddots \\ & & & R_k \\ & & & & \pm 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & \pm 1 \\ \end{pmatrix}$

dove R₁,...,R_k denotano matrici di rotazione 2 × 2. Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici R₁,...,R_k corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di Q.

[modifica] Decomposizione QR

Se A è una arbitraria matrice di tipo m × n di rango n (m ≥ n), possiamo sempre scrivere

$A = Q \begin{pmatrix} R \\ 0 \end{pmatrix}$

dove Q è una matrice ortogonale di tipo m × m e R è una [[matrice triangolare superiore]] di tipo n &times n con valori positivi sulla diagonale principale. Questa è conosciuta come decomposizione QR di A e può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di A.

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

[modifica] Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford

Per approfondire, vedi la voce Rappresentazione delle algebre di Clifford.

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alle rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Qui lo introduciamo in modo semplice attraverso un semplice esempio.

I vettori della base canonica di R² sono e₁ = [1 0] e e₂ =[0 1] e per un generico vettore di questo piano cartesiano scriviamo

[x y]= x·[1 0] + y·[0 1]

La matrice ortogonale

$E_1 := \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice y=x, poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

$\begin{bmatrix} x&y \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y&x \end{bmatrix}$

La matrice ortogonale

$E_2 := \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse x, poiché il punto [x y] ha come immagine [x,−y].

$\begin{bmatrix} x&y \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x&-y \end{bmatrix}$

Per i due prodotti di queste matrici si trova

$E_1 \times E_2 = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

$E_2 \times E_1 = \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{bmatrix} .$

Si tratta delle due rotazioni nel piano di π/2 e di −π/2, rotazioni opposte: quindi le due matrici E_i anticommutano. In formule:

$e_1^2 = e_2^2 = I \; ; \quad e_1 e_2 = - e_2 e_1$

Consideriamo ora E₁ ed E₂ come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari

$(x,y) := x E_1 + y E_2 = \begin{bmatrix} y&x \\ x&-y \end{bmatrix} .$

Consideriamo anche la seguente composizione di due di queste entità MV (matriciali e vettoriali) A e B:

$A \cdot B := \frac{1}{2}(AB + BA),$

In dettaglio si trova

$\begin{bmatrix} y&x \\ x&-y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v&u \\ u&-v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xu+yv & 0 \\ 0 & xu+yv \end{bmatrix}$

Per il quadrato di una di queste entità MV in particolare

$\begin{bmatrix} y&x \\ x&-y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} y&x \\ x&-y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2+y^2 & 0 \\ 0 & x^2+y^2 \end{bmatrix}$

Si può quindi definire come prodotto interno di A e B la precedente composizione, a meno della matrice unità I₂. Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità MV con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano vediamo che

$E_1 \cdot E_2 = 0.$