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Serie di Mengoli - Wikipedia

Serie di Mengoli

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La serie di Mengoli, così chiamata in onore di Pietro Mengoli, è la serie definita come

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}.

Questa serie risulta convergente a 1. Infatti si ha che

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}

abbiamo pertanto che

\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)+ \cdots + \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{k+1} \to 1 \mbox{, per } k \to \infty.

Occorre porre attenzione a lavorare solamente sulla successione \tilde{M}_k := \sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\! e non usare la serie formale M := \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\!; quest'ultima infatti non è una serie assolutamente convergente, e quindi non è possibile calcolarne il valore.

La serie di Mengoli costituisce un esempio classico di serie telescopica.

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../s/e/r/Serie_di_Mengoli_aafa.html"

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