Sottospazio vettoriale

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In matematica, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente alcune proprietà che fanno di lui un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

[modifica] Definizione

Sia K un campo (ad esempio il campo dei numeri reali R). Sia V uno spazio vettoriale su K. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se valgono le seguenti proprietà:

se u e v sono elementi di W, allora anche la loro somma u + v è un elemento di W;
se u è un elemento di W e λ è uno scalare in K, allora il prodotto λu è un elemento di W.

Queste due condizioni sono equivalenti alla seguente:

Se u e v sono elementi di W, λ e μ sono elementi di K, allora λu + μv è un elemento di W.

Dalla definizione, segue che, per ogni spazio vettoriale V, gli insiemi {0} e V sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri.

Si ottiene facilmente dalla condizione 2) che il vettore nullo di ogni sottospazio vettoriale di V è uguale al vettore nullo di V

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di V siano ben definite anche se ristrette a W. A questo punto, i 10 assiomi che garantiscono che V sia uno spazio vettoriale valgono anche per W, e quindi anche W è uno spazio vettoriale.

[modifica] Esempi

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali Kⁿ, le matrici m x n, o i polinomi a coefficienti in K.

L'origine da sola forma il sottospazio più piccolo di qualsiasi spazio vettoriale.
Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di R³.
Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in K ed in n variabili sono un sottospazio vettoriale di Kⁿ.
Le matrici diagonali, simmetriche e antisimmetriche formano tre sottospazi dello spazio delle matrici quadrate n x n.
Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare f: V → W sono sottospazi rispettivamente di V e di W.
I polinomi di gradi al più k sono un sottospazio dello spazio K[x] dei polinomi a coefficienti in K con variabile x.
Se X è un insieme e x un punto di X, le funzioni da X in K che si annullano in x (cioè le f tali che f(x) = 0) sono un sottospazio dello spazio F(X, K) di tutte le funzioni da X in K.
Le funzioni continue C(R, R) da R in R sono un sottospazio di F(R, R), e le funzioni derivabili D(R, R) sono un sottospazio di C(R, R).

[modifica] Operazioni sui sottospazi

L'intersezione U ∩ W di due sottospazi U e W di V è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in R³ passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione U ∪ W invece generalmente non è un sottospazio. U ∪ W è un sottospazio se e solo se U ⊆ W oppure W ⊆ U. In sostituzione, si definisce la somma U + W come l'insieme di tutti i vettori che sono somma u + w di un vettore u di U e di uno w di W. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in R³ è il piano che le contiene.

La Formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi U, W, U ∩ W e U + W.

L'ortogonale $W^\perp$ di uno sottospazio vettoriale W di uno spazio V su cui sia definita una forma bilineare b è l'insieme dei vettori v tali che b(v,w)=0 per ogni w in V.