Matrice diagonale

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In matematica, una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui solamente i valori della diagonale principale possono essere diversi da 0.

Non si impone che i valori sulla diagonale siano diversi da zero: la matrice quadrata nulla è quindi diagonale. Per esempio, sono diagonali le seguenti matrici:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x^2-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}$

[modifica] Definizione formale

Una matrice $n\times n, D = (d_{i,j})$ è diagonale se:

$\forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\} \mbox{ con } i \ne j \;:\; d_{i,j} = 0$

[modifica] Esempi e proprietà

Tutte le matrici identità I_n sono quindi diagonali.

Ogni matrice diagonale è anche una matrice simmetrica e una matrice triangolare; se i suoi valori appartengono al campo R o C, essa è anche una matrice normale.

[modifica] Matrice scalare

Una matrice diagonale avente i valori sulla diagonale tutti uguali è una matrice scalare. Una tale matrice è un multiplo λI della matrice identità I per uno scalare λ.

Una matrice scalare a valori in un campo $K$ , rappresenta una omotetia nello spazio vettoriale $K n$ : trasforma ogni vettore moltiplicandolo per lo scalare λ.

Le matrici scalari sono il centro dell'algebra di matrici: in altre parole le matrici scalari di tipo n × n sono precisamente le matrici che commutano con tutte le altre matrici dello stesso tipo.

[modifica] Operazioni di matrici

Le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono particolarmente semplici per le matrici diagonali. Scriviamo diag(a₁,...,a_n) per la matrice diagonale avente come sequenza delle dove le entrate diagonali a partire dall'angolo superiore sinistra sono a₁,...,a_n. Allora, per l' addizione, abbiamo

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

e per la moltiplicazione,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

La matrice diagonale diag(a₁,...,a_n) è invertibile se e solo se le sue entrate a₁,...,a_n sono tutte non nulle. In questo caso, abbiamo

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

In particolare, le matrici diagonali formano un sottoanello delle matrici dell'anello delle matrici n × n.

Moltiplicare la matrice A da sinistra per diag(a₁,...,a_n) equivale, per ogni i a moltiplicare la i-esima riga di A per a_i per ogni i; moltiplicare la matrice A da destra con diag(a₁,...,a_n) equivale a moltiplicare la i-esima colonna di A per a_i per ogni i.

Le matrici diagonali n × n quindi rappresentano trasformazioni che sugli assi di riferimento hanno l'effetto delle omotetie. La presenza di uno zero sulla diagonale principale equivale alla eliminazione della corrispondente dimensione. Consideriamo ad es. le seguenti matrici

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

La prima esprime la riflessione rispetto al piano Oxz. La seconda esprime la proiezione sul piano Oxy seguita dalla riflessione rispetto all'asse Ox La terza la proiezione ortogonale dello spazio sull'asse Oy seguita dalla riflessione di quest'ultimo e dalla sua omotetia per un fattore 3.

[modifica] Autovettori, autovalori, determinante

Gli autovalori della diag(a₁, ..., a_n) sono a₁, ..., a_n. I vettori unità e₁, ..., e_n formano una base di autovettori. Il determinante della diag(a₁, ..., a_n) è il prodotto a₁...a_n.

Dunque una matrice diagonale di ordine n soddisfa le n equazioni del tipo:

$A \vec e_i = a_i \vec e_i$

Un esempio tipico di matrice diagonale è la matrice identità del tipo:

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

in cui gli elementi sono dati dal simbolo di Kronecker:

(I) j k = δ j k

[modifica] Applicazioni

Le matrici diagonali si incontrano in molte aree dell'algebra lineare. Data la semplicità operativa delle matrici diagonali, è sempre consigliabile ricondurre una matrice data ad una matrice diagonale e rappresentare un applicazione lineare mediante una matrice diagonale.

In effetti, una matrice data n × n è simile ad una matrice diagonale se e solo se possiede n autovettori linearmente indipendenti. Questa è una matrice diagonalizzabile.

Sul campo dei reali o su quello dei complessi si può affermare di più: ogni matrice normale è unitariamente simile alla matrice diagonale (per il teorema spettrale), e ogni matrice è unitariamente equivalente ad una matrice diagonale con entrate non negative (per la decomposizione in valori singolari).