Teorema di Sylvester

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In matematica e, più precisamente, in algebra lineare, il Teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita, tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura e nel caso complesso è il rango.

[modifica] Definizioni

Per approfondire, vedi la voce prodotto scalare.

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, sul campo K dei numeri reali o complessi. Un prodotto scalare φ su V è una forma bilineare simmetrica. Due prodotti scalari φ e ψ sono isometrici se sono collegati da una isometria. Più precisamente, se esiste un automorfismo T: V → V (cioè una trasformazione lineare biunivoca) tale che:

$\phi\big(v,w\big) = \psi\big(T(v),T(w)\big) \quad \forall v,w \in V.$

Due vettori v e w di V sono ortogonali per φ se φ(v, w) = 0. Il radicale di φ è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortognali a qualsiasi vettore. Il rango di φ è n meno la dimensione del radicale. Un vettore v è isotropo se $φ(v, v) = 0$ .

Una base ortogonale di V rispetto a φ è una base di vettori $v_1, \ldots, v_n$ che sono a due a due ortogonali. Se K = R, definiamo la segnatura della base come la terna $(i +, i -, i 0)$ di interi, dove:

$i +$ è il numero di vettori $v i$ della base per cui $φ(v i, v i) > 0$ ;
$i -$ è il numero di vettori $v i$ della base per cui $φ(v i, v i) < 0$ ;
$i 0$ è il numero di vettori $v i$ della base per cui $φ(v i, v i) = 0$ .

Notiamo che una tale definizione non avrebbe senso per K = C, perché C non ha un ordinamento naturale.

[modifica] Il teorema

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, ed una per quello complesso. Il teorema di Sylvester reale è il seguente:

Sia φ un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale V di dimensione n.

Esiste una base ortogonale di V per φ;
Due basi ortogonali per V hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da φ;
Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono isomorfi.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa è la seguente:

Sia φ un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso V di dimensione n.

Esiste una base ortogonale di V per φ;
Due basi ortogonali per V contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da φ;
Due prodotti scalari con lo stesso rango sono isomorfi.

Quindi nel caso complesso il rango è un invariante completo per l'isometria.