Vettore (fisica)

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In fisica, un vettore è un elemento geometrico rappresentato da un segmento orientato, munito cioè di una freccia in una delle sue estremità, e caratterizzato da tre elementi:

modulo: rappresenta la lunghezza del vettore
direzione: la retta su cui giace il vettore
verso: il verso lungo la retta

Secondo questa definizione, un vettore geometrico non dipende dalla scelta del sistema di coordinate.

Indice

1 Operazioni sui vettori
2 Componenti di un vettore
- 2.1 Scomposizione di un vettore
- 2.2 Componenti cartesiane di un vettore
3 Voci correlate

[modifica] Operazioni sui vettori

[modifica] Somma

La somma di due vettori a e b è definita come il vettore a + b, diagonale del parallelogramma formato dai vettori a e b (vedi figura a fianco). a + b appartiene allo stesso piano di a e b (regola del parallelogramma). La somma gode delle seguenti proprietà:

a + b è ancora un vettore (cioè "+" è legge di composizione interna);
(a + b)+ c = a + (b+ c) (proprietà associativa)
esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0 è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto;
esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore - a che sommato a a da il vettore zero; - a è un vettore che ha lo stesso modulo, punto di applicazione e direzione di a, ma verso opposto.
a + b = b + a (proprietà commutativa)

Queste proprietà fanno sì che l'insieme dei vettori, rispetto all'operazione di somma, costituisca un gruppo abeliano.
La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori a - b come somma di a con l'opposto di b.

[modifica] Prodotto per uno scalare

Il prodotto di un vettore a per uno scalare k è un vettore che ha lo stesso verso e la stessa direzione di a, ma modulo uguale a |N||a|. Se |N|>1 il vettore viene dilatato, se |N|<1 il vettore viene contratto.
Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà:

(siano m, n scalari e a, b vettori)

n a è ancora un vettore (cioè il prodotto per uno scalare è legge di composizione interna);
(n m)a = n(m a) (proprietà associativa)
esiste l' elemento neutro rispetto al prodotto ed è l'elemento 1;
(n + m)a = n a + m a (proprietà distributiva rispetto alla somma di numeri);
n (a+b) = n a + n b (proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori);

L'insieme dei vettori gode dunque di tutte le proprietà di spazio vettoriale

[modifica] Prodotto scalare (o prodotto interno)

Il prodotto scalare tra due vettori u e v è uno scalare, definito nel modo seguente (si veda la figura sotto)

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} := u v\cos\theta$

ove θ è l'angolo formato dai due vettori.

Il prodotto scalare non è una legge di composizione interna, perché associa a due vettori uno scalare. Non ha quindi senso parlare di associatività, di elemento neutro, oppure di elemento opposto; il prodotto scalare risulta invece commutativo , ovvero

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}$ .

Il prodotto scalare è nullo se almeno uno dei due vettori e il vettore nullo, oppure se essi sono tra loro perpendicolari.

[modifica] Prodotto vettoriale (o prodotto esterno)

Per approfondire, vedi la voce Prodotto vettoriale.

Si dice prodotto vettoriale dei vettori v e u il vettore libero w avente:

la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da v e u
il verso quello di una persona che percorre l'angolo θ tra v e u in senso antiorario. Per il verso si utilizza anche la regola della mano destra; disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di v e l'indice la direzione di u, allora il medio indica la direzione di w (si veda la figura qui sopra). In maniera equivalente si può affermare che il verso di w è tale che la terna (v,u,w) sia una terna levogira.
il modulo di w è definito dalla formula:

$|\mathbf{v}\times\mathbf{u}| := vu\sin\theta$

Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:

è associativo: (a + b) × c = a × c + b × c
è anticommutativo: v × u = - u × v
è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli.
u × (λv) = λ(u × v) = (λu) × (v)
a × (b × c) = b(a · c) - c(a · b)

[modifica] Prodotto misto

Un prodotto misto è un'espressione in cui compaiono contemporaneamente prodotti scalari e vettoriali di vettori. Per la regola del prodotto misto, ogni volta che compaiono una o più coppie di prodotti vettoriali, essi possono eliminati, scrivendo espressioni più semplici, mediante i soli prodotti scalari.

Si voglia, ad esempio semplificare l'espressione a × (b × c). Essa sarà, per la regola del prodotto misto, uguale alla somma di tre termini in cui compaioni tutti e tre i vettori, e presi in modo tale che tutti siano moltiplicati scalarmente almeno una volta tra di loro:

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = A\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) + B\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) + C\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$

Ora il vettore a × (b × c) appartiene al piano formato dai vettori b e c, dunque è A = 0. Ponendo a = b = c = i (vedi versore) si determina che A + B + C = 0; mentre, ponendo a = b = i e c = j si determina che C = -1. Di conseguenza è B = 1, e si è ottenuta la seguente uguaglianza:

$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) -\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$

Altre regole del prodotto misto sono:

a · (b × c) = (a × b) · c
(a × b) · (a × c) = a²(b · c) - (a · b)(a · c)

[modifica] Componenti di un vettore

[modifica] Scomposizione di un vettore

rappresentazione grafica scomposizione di un vettore

Scomporre un vettore significa esprimerlo come combinazione lineare (valgono le proprietà della somma e del prodotto per uno scalare viste in precedenza) di altri vettori. Nel piano, dati due vettori non paralleli, un vettore può essere scomposto mediante somma di due vettori paralleli ai due dati, come mostrato in figura; nel caso di vettori nello spazio, la scomposizione avviene in modo del tutto analogo, con l'unica differenza che il vettore viene ora scomposto in tre altri vettori.

In generale, data una base di vettori, un qualsiasi vettore può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base:

$\mathbf{u} = \alpha_1\mathbf{u}_1 + \alpha_2\mathbf{u}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{u}_n$

dove, in questo caso, gli α_i rappresentano le componenti.

La scomposizione di vettori è una procedura molto utilizzata in fisica, in particolare in statica per scomporre le forze lungo direzioni particolari (ad esempio parallele e perpendicolari a determinati vincoli).

[modifica] Componenti cartesiane di un vettore

Rappresentazione grafica componenti cartesiane di un Vettore

Un caso particolare di sistema di riferimento, è quello ortonormale, in cui i vettori scelti come base sono tra loro ortogonali, e tutti di lunghezza unitaria (vedi versore). Nel caso del piano o dello spazio euclideo, un tale sistema di coordinate è detto cartesiano. Un vettore viene dunque scomposto nelle sue componenti cartesiane e, convenzionalmente, i versori sono denominati con i simboli i, j e k rispettivamente per l'asse x, y e z. I versori sono tali che:

i × j = k
j × k = i
k × i = j

(per ricordare questi risultati, scrivere la prima riga i j k e ruotarla verso sinistra sotto per due volte).

Un vettore può allora essere scritto come combinazione lineare dei versori canonici:

$\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}$

con v_x, v_y e v_z componenti cartesiane del vettore v.

In generale, in un sistema di riferimento cartesiano, le componenti di un vettore coincidono con i coefficienti di Fourier.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Fisica