Vettore applicato

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In matematica e fisica, un vettore applicato è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale.

Gli elementi che caratterizzano un vettore applicato sono:

direzione: la retta su cui giace il segmento;
verso: uno dei due possibili versi su questa retta;
punto di applicazione: punto di inizio del segmento, ovvero il punto che precede tutti gli altri punti del segmento;
modulo o intensità: lunghezza del segmento.

Un vettore applicato ad un punto $A$ viene normalmente indicato con $\overrightarrow{AB}$ , dove $B$ è il punto finale, ed è in corrispondenza biunivoca con la coppia ( $A$ , $\mathbf{v}$ ), dove $\mathbf{v}$ è il vettore libero con direzione appartenente al fascio improprio di rette determinato dal segmento AB, verso tale che B è il punto finale e modulo uguale alla distanza euclidea |AB| (questo vettore è identificabile con l'immagine $φ(A, B)$ dell'applicazione dallo spazio affine allo spazio euclideo tridimensionale).

Rappresentazione grafica di un vettore rispettivamente entrante e uscente dal foglio

Per rappresentare graficamente un vettore entrante o uscente dal foglio il sistema unicode ha previsto i seguenti simboli:

vettore che entra nel foglio: ⊗ (U+2297), a sinistra nell'immagine

vettore che esce dal foglio: ⊙ (U+2299), a destra nell'immagine.

[modifica] Operazioni su vettori applicati

[modifica] Somma

La somma di due vettori a e b aventi lo stesso punto di applicazione è definita come il vettore a + b, diagonale del parallelogramma formato dai vettori a e b (vedi figura a fianco). a + b appartiene allo stesso piano di a e b. La somma gode delle seguenti proprietà:

a + b è ancora un vettore (cioè "+" è legge di composizione interna);
(a + b)+ c = a + (b+ c) (proprietà associativa)
esiste l' elemento neutro rispetto alla somma; il vettore zero, 0 è un segmento degenere di lunghezza zero, cioè un punto;
esiste l' elemento opposto rispetto alla somma, cioè un vettore - a che sommato a a da il vettore zero; - a è un vettore che ha lo stesso modulo, punto di applicazione e direzione di a, ma verso opposto.
a + b = b + a (proprietà commutativa)

Queste proprietà fanno sì che l'insieme dei vettori dello spazio con lo stesso punto di applicazione $O$ sia strutturato come un gruppo abeliano o commutativo.
La definizione di opposto di un vettore permette di definire la differenza tra due vettori a - b come somma di a con l'opposto di b.

[modifica] Prodotto per uno scalare

Il prodotto di un vettore a per uno scalare N (numero reale) è un vettore b che ha lo stesso punto di applicazione, verso e direzione di a e modulo uguale a N a. Se N>1 il vettore viene dilatato, se N<1 il vettore viene contratto.
Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà:

(definendo N e M come numeri reali ed a e b come vettori)

N a è ancora un vettore (cioè il prodotto per uno scalare è legge di composizione interna);
(N M)a = N(M a) (proprietà associativa)
esiste l' elemento neutro rispetto al prodotto ed è il numero 1;
(N + M)a = N a + M a (proprietà distributiva rispetto alla somma di numeri);
N (a+b) = N a + N b (proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori);

[modifica] Prodotto scalare (o prodotto interno)

Per approfondire, vedi la voce Prodotto scalare.

Il prodotto scalare tra due vettori u e v aventi lo stesso punto di applicazione è definito nel modo seguente (si veda la figura sotto)

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}= {u} {v}cos {\theta}$

Il prodotto scalare non è una legge di composizione interna, perché associa a due vettori un numero reale. Non ha quindi senso parlare di associatività, di elemento neutro, oppure di elemento opposto; il prodotto scalare risulta invece commutativo $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {u}$ . Il prodotto scalare è nullo se uno o entrambi i vettori son nulli, oppure se i vettori sono tra loro perpendicolari.

Rappresentazione grafica dei prodotti scalare e vettoriale

[modifica] Prodotto vettoriale (o prodotto esterno)

Per approfondire, vedi la voce Prodotto vettoriale.

Si dice prodotto vettoriale dei vettori v e u il vettore libero w avente:

la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da v e u
il verso quello di una persona che percorre l'angolo θ tra v e u in senso antiorario. Per il verso si utilizza anche la regola della mano destra; disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di v e l'indice la direzione di u, allora il medio indica la direzione di w (si veda la figura qui sopra). In maniera equivalente si può affermare che il verso di w è tale che la terna (v,u,w) sia una terna levogira.
il modulo di w è definito dalla formula:

$|\mathbf {v} \times \mathbf {u} |= {v}\, {u}\, sin \,{\theta}$

Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:

è associativo
è anticommutativo: $\mathbf {v} \times \mathbf {u} = - \mathbf {u} \times \mathbf {v}$
è nullo se uno o entrambi i vettori sono nulli, oppure se i vettori sono tra loro paralleli.