Spazio affine

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Lo spazio affine è una struttura matematica simile a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine è uno spazio vettoriale "senza un'origine" (cioè "senza punto centrale"). Come gli spazi vettoriali, quelli affini vengono studiati con l'ausilio dell'algebra lineare.

[modifica] Definizione

Formalmente, uno spazio affine $\mathcal A$ è un insieme dotato di una funzione

$\phi: \mathcal A \times \mathcal A \to \mathcal V$

a valori in uno spazio vettoriale $\mathcal V$ che esprime, dati due punti P e Q di $\mathcal A$ , il "vettore da P a Q". Questo vettore può essere indicato con $φ(P, Q)$ , $\overrightarrow {PQ}$ o più brevemente con $Q - P$ . La funzione $φ$ deve soddisfare ovviamente alcuni requisiti:

per ogni P fissato, la mappa che associa a Q il vettore Q - P è una biiezione da $\mathcal A$ in $\mathcal V$ ;
per ogni P, Q, R abbiamo

$(Q - P) + (P - R) = Q - R$ (relazione di Chasles).

[modifica] Proprietà

Dato un punto P in $\mathcal A$ ed un vettore $\vec v \in \mathcal V$ , possiamo definire il punto $P + \vec v \in \mathcal V$ come l'unico punto Q tale che $P - Q = \vec v$ .
Dato un punto P, l'immagine dell'applicazione $\phi(P, \cdot)$ si può identificare con l'insieme dei vettori applicati a P.
Ogni spazio vettoriale $\mathcal V$ è uno spazio affine, basta definire P - Q come l'usuale differenza fra vettori.

[modifica] Sottospazi affini

Per approfondire, vedi la voce sottospazio affine.

Un sottospazio affine $\mathcal F$ di $\mathcal A$ è un sottoinsieme del tipo

$\mathcal F = P + W = \{P + \vec w \ |\ \vec w \in W\}$

dove P è un punto fissato, che risulta appartenere al sottospazio. La dimensione di $\mathcal F$ è definita come la dimensione di W.

Lo stesso sottospazio affine $\mathcal F$ può essere definito come Q + W per un qualsiasi $Q \in \mathcal F$ , a conferma che nella geometria affine "non ci sono punti privilegiati". Il sottospazio vettoriale W è detto la giacitura di $\mathcal F$ . La dimensione di $\mathcal F$ è quindi definita come la dimensione di W.

Il sottospazio affine generato da alcuni punti $x_1, \ldots, x_k$ in $\mathcal A$ è il più piccolo sottospazio che li contiene.

Per quanto detto sopra, uno spazio vettoriale $\mathcal V$ è anche affine, e quindi abbiamo definito anche la nozione di sottospazio affine di $\mathcal V$ : in questo caso, un sottospazio affine è il risultato di una traslazione di un sottospazio vettoriale W lungo il vettore p.

Due sottospazi affini sono incidenti quando hanno intersezione non vuota. Sono paralleli quando una delle due giaciture è contenuta nell'altra. Sono sghembi in tutti gli altri casi.

Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver "costretto" i sottospazi a passare per un punto fissato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grasmann) aggiungendo allo spazio dei "punti all'infinito".