ಗಣ
From Wikipedia
[ಬದಲಾಯಿಸಿ] ವ್ಯಾಖ್ಯೆ
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ(Set Theory) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಷಯ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಗಣ ಎಂಬುದು ಸಮೂಹಗಳ ನಿರೂಪಣೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು: W = {೦, ೧, ೨, ೩, ೪, ...} ಎಂಬುದು ಅಂಕಿಗಳ ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವಾದರೆ, ಪ = {ಹಸು, ಕಾಗೆ, ಕೋಳಿ, ಸಿಂಹ, ಹುಲಿ} ಎಂಬುದು, ೫ ಪ್ರಾಣಿ ಸದಸ್ಯಗಳ ನಿಷ್ಕೃಷ್ಟ ಗಣ.
ಸಾಮನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣ ಎಂಬುದು ವಸ್ತು ಮಾದರಿ ಸಮೂಹಗಳ ನಿರೂಪಣೆಯೇ ಹೊರತು, ವಸ್ತು ನಿದರ್ಶನ ಗಳ ಸಮೂಹವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ = {೨ ಹಸು, ೩ ಕಾಗೆ, ೫ ಕೋಳಿ, ೧ ಸಿಂಹ, ಹುಲಿ, ಹುಲಿ} ಎಂಬುದು ತಪ್ಪಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ವಸ್ತು ನಿದರ್ಶನಗಳ ಸಮೂಹಗಳನ್ನು, ಆವಳಿ-ಗಣ (multi-set) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆೆ. ಗಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಆವಳಿ-ಗಣಗಳಿಗಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾದುದು.
ಗಣಗಳ ನಿರೂಪಣೆ ಯಾವುದೇ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ {೨, ೪, ೬, ೮} ಮತ್ತು {೪, ೨, ೮, ೬} ಇವೆರಡು ಗಣಗಳೂ ಒಂದೆ.
ಸಾಮನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಗಳು ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತು ಸಮೂಹವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ {೧, ೨, ೩, ಹಸು} ಎಂಬ ಗಣ ನಿರೂಪಣೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಪ್ಪೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
[ಬದಲಾಯಿಸಿ] ಸದಸ್ಯತ್ವ
ಯಾವುದೆ ಒಂದು ಗಣ U ನಲ್ಲಿ ಸೇರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳೂ U ನ ಸದಸ್ಯರೆಂದು ಕರೆಲ್ಪದುತ್ತವೆ. ಗಣದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸದಸ್ಯರು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು "ಅನಂತ ಗಣ"ವೆಂದೂ, ಇಲ್ಲವಾದರೆ, "ನಿಷ್ಕೃಷ್ಟ ಗಣ"ವೆಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಗಣಗಳ ಸದಸ್ಯ ವಸ್ತುಗಳು, ತಾವೆ ಗಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ {{೧,೨}, {೩,೪}} ಎಂಬುದು, ಎರಡು ಸದಸ್ಯಗಳುಳ್ಳ ಗಣ. ಈ ಎರಡೂ ಸದಸ್ಯಗಳೂ, ತಾವೇ ಗಣಗ್ಳಾಗಿದ್ದು, ಎರಡರಲ್ಲೂ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ೨ ಸದಸ್ಯ ಗಣಗಳು ಇವೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಗಳು ತಾವೇ ತಮ್ಮ ಸದಸ್ಯರಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ = {{೧,೨}, {೩,೪}, ಪ} ಎಂಬುದು ತಪ್ಪಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು, ಅಡಿಪಾಯ ಆಧಾರ ಸೂತ್ರ (Axiom of Foundation) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು, ರಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಗಳಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿರುವುದು.
ಹಾಗಾಗಿಯೂ, ಇತ್ತೀಚಿಗೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿಲ್ಲದೆಯೆ ಗಣಗಳಿಗೆ ಸ್ವ-ಸದಸ್ಯತ್ವವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಂತಹ ಗಣಗಳನ್ನು "ಅಡಿಪಾಯ ರಹಿತ" ಗಣಗಳೆಂದು (non-wellfounded sets) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
[ಬದಲಾಯಿಸಿ] ಸಂಖ್ಯತ್ವ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರ
ಯಾವುದೇ ಗಣ ಪ ದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸದಸ್ಯರಿದ್ದಾರೋ ಅದೇ ಅದರ "ಸಂಖ್ಯತ್ವ" (cardinality). ಪ-ಗಣದ ಸಂಖ್ಯತ್ವವನ್ನು |ಪ| ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ ಎಂಬುದು {{೧,೨}, ೩, ೪, {೫,೬}} ಆದರೆ, |ಪ| = ೪.
ಗಮನಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ಗಣ ಎ, ಇನ್ನೊಂದು ಗಣ ಪ ದ ಸದಸ್ಯವಾದಲ್ಲಿ, ಪ-ಗಣದ ಸಂಖ್ಯತ್ವದ ಏಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಎ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಬಾರಿ ಏಣಿಸಲಾಗುತ್ತೆ. ಎ ಎಂಬುದು ತಾನೇ ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವಾಗಿರಬಹುದು; ಆದರೆ, ಪ-ಸದಸ್ಯತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಎ ಎಂಬುದು ಒಂದೇ ಸದಸ್ಯ.
ಪ ಮತ್ತು ಮ ಎಂಬ ಎರಡು ಗಣಗಳು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಪ ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರಿಗೂ ಮ ಗಣದಿಂದ ಒಂದು ಏಕೈಕ ಸದಸ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಂತಾದಲ್ಲಿ, ಹಾಗೆಯೆ ಮ ಗಣದ ಪ್ರತಿಒಂದು ಸದಸ್ಯರಿಗೂ ಪ ಗಣದಿಂದ ಒಂದು ಏಕೈಕ ಸದಸ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಂತಾದಲ್ಲಿ, ಪ ಮತ್ತು ಮ ಗಣಗಳು ಸಮಗಾತ್ರ ಗಣಗಳೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತೆ.
ನಿಷ್ಕ್ರುಷ್ಟ ಗಣಗಳ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು, ತಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯತ್ವಗಳ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಅನಂತ ಗಣಗಳಿಗೆ ಇದು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ನೈತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ" (Natural numbers N) ನ = {೧, ೨, ೩, ...} ಮತ್ತು "ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ" (Integers Z) ಜ಼ = {..., -೩, -೨, -೧, ೦, ೧, ೨, ೩, ...}, ಇವೆರಡೂ ಗಣಗಳ ಗಾತ್ರವೂ ಒಂದೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಒಂದು ಏಕೈಕವಾದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಒಂದು ಏಕೈಕವಾದ ನೈತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು.
ಆದರೆ, "ನಿಜ ಸಂಖ್ಯೆ" (Real numbers R) ಗಣದ ಗಾತ್ರವು ನೈತಿಕಸಂಖ್ಯೆ ಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು! ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಗಣಗಳೂ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಗಣ ಸಿದ್ದಾಂತದ ಒಂದು ಮಹತ್ವವಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ಇದನ್ನು ಗಿಯೋರ್ಗ್ ಕಾಂಟೋರ್ ನ ಕರ್ಣ ವಾದ (diagonal argument) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತೆ.
