Gradiënt (wiskunde)
Van Wikipedia
In de wiskundige analyse geeft de gradiënt van een functie de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie.
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Onder de gradiënt, grad f, van een reële functie f van n reële veranderlijken 
in een punt a van 
, verstaat men de vector met als componenten de partiële afgeleiden van f in a, dus:
Vaak noteert men de gradiënt met behulp van de formele operator nabla:
Als deze partiële afgeleiden in (een open deelverzameling van) bestaan, bepaalt de gradiënt van f een vectorveld.
Technisch gezien is de gradiënt hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van f, zie differentieerbaarheid.
[bewerk] Voorbeeld
Voor de driedimensionale functie 
is dus:
Stel dat f wordt gegeven door:
.
Dan wordt de gradient van f gegeven door:
,
wat een vectorveld in drie dimensies voorstelt.
[bewerk] Sterkste variatie
Met elke (georiënteerde) richting van komt een richtingsafgeleide van f in a overeen. Als f differentieerbaar is in a, dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.
[bewerk] Gekromde ruimten
Op een algemene gladde variëteit noteert men df voor de eenvorm (covectorveld) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van f in dat coördinatenstelsel.
Op een Riemann-variëteit levert de metrische tensor g een eenduidig verband tussen covectoren en vectoren, zodat de gradiënt daar opnieuw als een vectorveld kan worden opgevat:
