גרדיאנט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החיצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החיצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר

בחשבון אינפיניטיסימלי של מספר משתנים, גרדיאנט הינו אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי.
הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור המצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי), ואשר גודלו כשיעור השינוי המקסימלי.

[עריכה] סימון

אם $\ f$ פונקציה סקלרית והגרדיאנט שלה הוא פונקציה וקטורית $\vec F$ , נסמן:

$\vec F = \operatorname{grad} \ f = \nabla \ f = \vec \nabla \ f$

כאשר $\vec{\nabla}$ מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבלה") המוגדר כוקטור של נגזרות חלקיות, כלומר:

$\vec{\nabla} \equiv \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} +\hat{y} \frac{\partial}{\partial y } + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \equiv \left( \ \partial_x \ , \ \partial_y \ , \ \partial_z \right)$

[עריכה] הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת ממדי

במרחב אוקלידי תלת ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהוא שמתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות $\ \psi(x,y,z)$ מוגדר כך:

$\vec{\nabla} \psi(x,y,z) \equiv \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial z}\hat{z}$

כאשר $\{\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\}$ הינם וקטורי היחידה המקבילים לצירים.

באופן כללי, עבור $\ f$ פונקציה סקלרית כלשהיא מעל מרחב וקטורי בעל $\ n$ ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך:

$\operatorname{grad}f(a) \equiv \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$

[עריכה] דוגמה

הפוטנציאל הוא שדה סקלרי $\ U(\vec{r})$ , והכח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית $\ \vec{F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}U(\vec{r})$ (ראה דוגמאות ספציפיות בערך אנרגיה פוטנציאלית). לכן, הכח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון בו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.