Middelwaardestelling

Van Wikipedia

De middelwaardestelling is een stelling uit de analyse die vaak gebruikt wordt om andere stellingen te bewijzen en dankt hieraan dan ook zijn bekendheid. Hij kent verschillende vormen, maar de bekendste is die van Lagrange. De stelling is sterk gerelateerd aan de tussenwaardestelling, soms wordt de middelwaardestelling de tussenwaardestelling voor afgeleiden genoemd.

De stelling zegt dat wanneer a<b en de functie f voldoet aan de volgende voorwaarden:

1. f is continu op het gesloten interval [a, b],
2. f is differentieerbaar op het open interval (a,b)

dat er dan een waarde c bestaat tussen a en b zodat de afgeleide van f in c voldoet aan: .

Wanneer er geldt dat f(b) = f(a), herkennen we hier de stelling van Rolle in. In woorden zegt de middelwaardestelling: de afgeleide van een functie die op (a,b) differentieerbaar is, is op minstens één plaats gelijk aan de gemiddelde verandering van f op dat interval (de 'middelwaarde').

[bewerk] Bewijs

Voor het bewijs steunen we op de stelling van Rolle. We definiëren de functie .

Deze functie voldoet aan de voorwaarden van de stelling van Rolle. Er bestaat dus een c tussen a en b, waarvoor geldt: .

Hieruit volgt het gestelde.

[bewerk] Veralgemening van de middelwaardestelling

Een veralgemening van de middelwaardestelling werd gegeven door Cauchy. Deze veralgemening zegt dat wanneer a<b en de functies f en g voldoen aan de volgende voorwaarden:

1. f en g zijn continu op het gesloten interval [a, b],
2. f en g zijn differentieerbaar op het open interval (a,b)
3. g'(x) is verschillend van nul op het open interval (a,b)

dat er dan een waarde c bestaat tussen a en b zodat er geldt: .

Merk allereerst al op dat wegens de derde voorwaarde en de stelling van Rolle g(b) - g(a) verschillend van nul is, want anders zou g'(d) nul zijn voor een zekere d tussen a en b. Het bewijs verloopt verder volledig analoog aan dat van de middelwaardestelling: we beschouwen hier echter de functie .