Spoor (wiskunde)
Van Wikipedia
Het spoor (naar het Duits Spur, in het Engels later vertaald door trace) van de vierkante matrix A is de som van zijn diagonaalelementen
van A.
met ai j het element ( i , j ) van de matrix A.
Als een n×n-matrix n eigenwaarden heeft (eventueel meervoudig), dan is zijn spoor gelijk aan de som van de eigenwaarden waarbij meervoudige eigenwaarden meervoudig geteld worden.
[bewerk] Eigenschappen
- lineariteit:
- tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
- tr(rA) = r tr(A)
- invariant onder transponeren
- tr(A) = tr(AT).
- invariant onder matrixvermenigvuldigen (A en B stellen vierkante n×n matrices voor):
- tr(AB) = tr(BA).
dus ook
- tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)
- tr(P−1AP) = tr(PP−1A) = tr(A)
- Het spoor van een matrix vindt ook toepassing bij de bepaling van de karakteristieke polynoom van de matrix. Voor een vierkante matrix met k rijen en k kolommen is de veelterm van de orde k-1. Het spoor van de matrix is op het teken na, tevens de coëfficiënt van de term met de macht k-2.
- Bovenstaand verband kan bij reële of complexe matrices ook uitgedrukt worden aan de hand van de exponentiële functie. Voor de definitie van de exponentiële functie op vierkante matrices kan een machtreeks gebruikt worden, of anders de abstracte exponentiële functie uit de theorie van de Lie-algebras.
- det (exp(A)) = exp(tr A)
De Lie-groep 
bestaat uit de reële n×n -matrices met determinant 1. De overeenkomstige Lie-algebra bestaat uit alle reële n×n -matrices met spoor 0.
[bewerk] Verband eigenwaarden
Het spoor is een gelijksoortigheidsinvariant, d.w.z. dat voor iedere omkeerbare n×n -matrix B geldt:
- tr A = tr (B − 1.A.B)
Als A een symmetrische matrix is over een lichaam, dan bestaat er een B die de gegeven matrix diagonaliseert, d.w.z. (B − 1.A.B) is een diagonaalmatrix. Hieruit volgt voor dergelijke matrices opnieuw dat het spoor gelijk is aan de som van de eigenwaarden.
