跡數

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在线性代数中，n乘n方陣「A」的跡數，是指「A」的主對角線各元素的總和（從左上方至右下方的對角線），例如：

tr(A) = A_1,1 + A_2,2 + ... + A_n,n

其中 Aij 代表在 i 行 j 欄中的數值。同樣的，元素的跡數是其特徵值的總和，使其不變量根據選擇的基本準則而定。

跡數的英文為「trace」，是來自德文中的「Spur」這個單字（與英文中的「Spoor」是同源詞），在數學中，通常簡寫為「Sp」。

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跡數是一種線性算子。亦即，對於任兩個方陣A、B和純量r，會有下列關係：

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(rA) = r tr(A)

因為主對角線不會在轉置矩陣中被換掉，所以所有的矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡數：

tr(A) = tr(A^T)

設A是一個n×m矩陣，B是個m×n矩陣，則：

tr(AB) = tr(BA)

其中AB是n×n矩陣，但BA卻會是個m×m。

上述可以由矩陣乘法的定義來證明出來：

$\mathrm{tr}(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m A_{ij} B_{ji} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n B_{ji} A_{ij} = \sum_{j=1}^m (BA)_{jj} = \mathrm{tr}(BA)$

利用這個結果，我們可以推導出方陣的乘積和其任何循環置換的乘積會有相同的跡數，稱為跡數的「循環性質」。例如，有三個方陣A、B、C，則：

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

更一般化地，當矩陣不被假設為方陣，但其所有乘積依然存在時，其跡數依然會完全相同。

若A、B、C為有著相同維度的方陣而且對稱的話，其乘積的跡數不只在循環置換下不會改變，而是在所有的置換下均不會改變，亦即

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) = tr(BAC) = tr(CBA) = tr(ACB)

跡數擁有相似不變性，即A和P⁻¹AP會有相同的跡數，儘管總是存在一相同跡數但不相似的矩陣。這一性質可使上面講過的循環性質來證明：

tr(P⁻¹AP) = tr(PP⁻¹A) = tr(A)

給定任一線性映射f : V → V（V是一有限維向量空間），我們可以定義此一映射的跡數為其矩陣表達式的跡數，即選定V的一基並描述f為一對應於此基的矩陣，再取此一方陣的跡數。其結果將和所選取的基無關，當不同的基都會得出相似的矩陣。

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