Liczba sprzężona

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Liczba sprzężona do danej liczby zespolonej postaci $a + b i$ , gdzie $a,b\in\mathbb{R}$ , to liczba $a - b i$ . Liczbę sprzężoną do liczby $z$ oznaczamy symbolem $\overline z$ lub (rzadziej) $z^\star$ . Oznaczenie "z gwiazdką" jest bardzo często stosowane w fizyce.

[edytuj] Przykłady

Jeśli:

$z = 3 + 2 i$ , to $\overline z = 3 - 2i$ ,
$z = - i$ , to $\overline z = i$ ,
$z = - 2 - 3 i$ , to $\overline z = -2 + 3i$ ,
$z = 4$ , to $\overline z = 4$ .

[edytuj] Właściwości

Liczbą sprzężoną do liczby rzeczywistej $a$ jest ta sama liczba:

$\overline a=a$ .

Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

$\overline {z_1+z_2}=\overline z_1 +\overline z_2$ .

Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

$\overline {z_1 z_2}={\overline z}_1 {\overline z}_2$ .

Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

$|\overline z|=|z|$ .

Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

$\arg({\overline z})=-\arg(z)$

Suma danej liczby zespolonej, o postaci $z = a + b i$ oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

$z + \overline z = 2\rm{Re}(z)$ .

Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

$z \overline z = |z|^2$ , stąd też: $|z| = \sqrt{z \overline z}$ .

Dwukrotna operacja sprzężenia danej liczby daje w wyniku daną liczbę:

$\overline{({\overline z})} = z$ .

Jeżeli $z = b i$ , czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

$\overline z = -z \leftrightarrow z = bi, -z = -bi = \overline z$

[edytuj] Macierz sprzężona

Macierz sprzężona do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

$\mathbf{A}=[a_{ij}] \mapsto \overline \mathbf{A} = [{\overline a}_{ij}]$

Przykład:

$\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{matrix} \right] \mapsto \overline \mathbf{A} = \left[ \begin{matrix} 2-3i & 1+2i & -1-2i \\ 0 & -2 & 3-2i \\ i & 2+i & 2-i \end{matrix} \right]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

[edytuj] Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a + b i + c j + d k$ jest kwaternion $a - b i - c j - d k$ . Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ można określić je wzorem $f(a + b \sqrt 2) = a - b \sqrt 2$ , a także na liczby dualne. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.