Macierz schodkowa
Z Wikipedii
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
 |
|
Niektóre typy macierzy Operacje na macierzach Inne zagadnienia |
| edytuj ten szablon |
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się odnośnie jakich informacji pojawiły się wątpliwości.
Wstawiając szablon dodaj informację o tej stronie na Wikipedia:Strony wymagające weryfikacji.
Zdefiniujemy jedynkę wiodącą jako element macierzy dla którego zachodzą własności:
- w wierszu znajduje się dokładnie jedna jedynka wiodąca (mogą istnieć inne elementy),
- jedynka wiodąca jest pierwszym niezerowym elementem w wierszu,
- w kolumnie poza elementami zerowymi znajduje się jedna jedynka wiodąca.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Macierz schodkowa zredukowana jest macierzą o następujących własnościach:
- w wierszu znajduje się maksymalnie jedna jedynka wiodąca,
- jeżeli wiersz nie zawiera jedynki wiodącej, to jest wierszem zerowym i jest umieszczany na końcu macierzy,
- wiersze z jedynkami wiodącymi są uporządkowane kolumnowo (od lewej do prawej).
Jeżeli z definicji jedynki wiodącej usuniemy trzecią własność, otrzymamy definicję macierzy schodkowej.
[edytuj] Stwierdzenie
Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej (zredukowanej) za pomocą operacji elementarnych w skład których wchodzą:
- zamiana miejscami dwóch różnych wierszy macierzy,
- pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez liczbę różną od zera,
- dodanie do jednego wiersza macierzy innego wiersza tej samej macierzy, pomnożonego przez liczbę różną od zera.
[edytuj] Zastosowania
Ponieważ każdej macierzy odpowiada przekształcenie liniowe posiadające rząd operatora liniowego, a więc możemy mówić o rzędzie odpowiadającej mu macierzy. Dla macierzy w postaci macierzy schodkowej (zredukowanej) odczytanie rzędu jest łatwe: jest on równy ilości jedynek wiodących.
Dodatkowo jest to postać, do której zostaje sprowadzona macierz w wyniku transformacji Gaussa i pozwala na łatwe odczytanie rozwiązania macierzowego układu równań.
Istnieją również definicje, które dopuszczają inne, różne od zera elementy zamiast jedności w definicji jedynki wiodącej, co wiedzie do pojęcia elementu wiodącego, lecz nie są one najszczęśliwsze. Inną nazwą macierzy schodkowej zredukowanej, choć mało spotykaną, jest "macierz eszelonowa".
[edytuj] Przykłady
Macierze A' i B są macierzami schodkowymi niezredukowanymi.
