Macierz ortogonalna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
(!) macierz dopełnień algebraicznych
(!) macierz dołączona
więcej...

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
diagonalizacja macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

[edytuj] Definicja

Macierz ortogonalna to macierz kwadratowa $A \in M_n(K)$ spełniająca równość:

$A^T\cdot A=A\cdot A^T=I_n$ ,

gdzie:

$I n$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n$ ,
$A T$ oznacza macierz transponowaną względem $A$ .

Innymi słowy, macierz jest ortogonalna, jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana. Macierz ortogonalna to macierz unitarna o wyrazach rzeczywistych.

[edytuj] Własności

Niech $A$ będzie macierzą ortogonalną ustalonego wymiaru. Wówczas:

$A T = A - 1$ .
$\det A \in \{1, -1\}$ . O macierzach ortogonalnych o dodatnim wyznaczniku mówimy, że zachowują orientację.
suma i iloczyn macierzy ortogonalnych są również macierzami ortogonalnymi, macierze ortogonalne ustalonego wymiaru tworzą więc pierścień, z macierzami zerową i jednostkową jako elementami neutralnymi, odpowiednio dodawania i mnożenia macierzy.