Rząd macierzy

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Zasugerowano, aby ten artykuł zintegrować z artykułem macierz. (dyskusja)

Rząd macierzy $\mathcal A$ to stopień największego, niezerowego minora macierzy $\mathcal A$ . Równoważnie z izomorfizmu macierzy oraz operatorów liniowych: jest to maksymalna liczba, zapisanych wierszowo lub kolumnowo, wektorów liniowo niezależnych przekształcenia $\mathcal A$ , którego macierzą w jakiejś bazie jest macierz $A$ .

Warto napomknąć, iż dowolność zapisu wierszowego i kolumnowego wektorów bierze się z tego, iż wektory te rozpinają pewną przestrzeń liniową: w zależności od ich układu wektorów, przestrzeń ta będzie zanurzona w jednej z tych przestrzeni.

Rząd macierzy $\mathcal A$ oznacza się przez $\operatorname{rz}\;\mathcal A$ (polskie) lub częściej $\operatorname{rk}\;\mathcal A$ (ang. rank – rząd, ranga).

Praktycznie wyznaczenie rzędu macierzy możliwe jest na kilka sposobów, m.in. przez obliczenie kolejnych minorów w macierzy, gdzie często wygodnie jest zaczynać od największych próbując odnaleźć jakiś zerowy — macierz ma na pewno rząd minimum o jeden stopień niższy. Innym sposobem jest również rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa (szukając równania wspomnianej przestrzeni). Stopień macierzy jest wtedy liczbą znaczących równań tego układu, czyli liczbą "schodków" w postaci schodkowej.

Przy obliczaniu rzędu pomocne mogą być następujące fakty:

rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli:
- zamienimy wiersze (kolumny) miejscami,
- do wiersza (kolumny) dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (kolumn),
- wiersz (kolumnę) pomnożymy przez stałą różną od zera,
rząd macierzy i macierzy do niej transponowanej są równe.