Podgrupa charakterystyczna

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Uwagi
2 Podgrupa wyróżniona
3 Podgrupa całkowicie charakterystyczna
4 Własności
5 Bibliografia
6 Przypisy
7 Zobacz też

Podgrupa charakterystyczna – podgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

[edytuj] Definicja formalna

Niech $G$ będzie grupą. Podgrupę $H \le G$ nazywamy charakterystyczną, jeżeli $\varphi\colon G \to G$ jest automorfizem grup (bijektywnym homorfizmem) i dla każdego $h \in H$ zachodzi $\varphi(h) \in H$ . Równoważnie: $\varphi(H) \sube H$ , co pociąga za sobą fakt, iż obraz $\varphi(H) = H$ .

Tę właściwość podgrupy $H$ grupy $G$ oznaczamy symbolem $H \blacktriangleleft G$ lub $H\;\operatorname{char}\;G$ .

[edytuj] Uwagi

W szczególności podgrupy charakterystyczne są niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Rozważmy czwórkową grupę Kleina $V 4$ : każda podgrupa tej grupy jest normalna, lecz wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
Z drugiej strony, jeśli $H \vartriangleleft G$ i grupa $G$ nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to $H$ musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

[edytuj] Podgrupa wyróżniona

Podobnym pojęciem jest podgrupa wyróżniona^[1] (ang. distinguished subgroup). Podgrupę $H$ nazwiemy podgrupą wyróżnioną, jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej. Jednakże w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

[edytuj] Podgrupa całkowicie charakterystyczna

Jeżeli $H \le G$ jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy $G$ , to $H$ nazywamy podgrupą całkowicie charakterystyczną (również podgrupą całkowicie niezmienniczą albo CC-podgupą). Innymi słowy, jeżeli $\varphi\colon G \to G$ jest dowolnym homomorfizmem, to $\varphi(H) \le H$ . Komutant każdej grupy jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną.

[edytuj] Własności

Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
Jeśli $H \blacktriangleleft G \vartriangleleft E$ , to $H \vartriangleleft E$ . W szczególności $H \vartriangleleft G$ .
Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest wyróżniona, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum grupy jest zawsze podgrupą wyróżnioną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
Jeżeli $G$ jest grupą, wówczas grupy generowanane odpowiednio przez zbiory: $G_k=\{a\in G\colon a^k=1\}$ oraz $G^k=\{a^k\in G\colon a\in G\},\; k\in\mathbb{N}$ są podgrupami charakterystycznymi grupy $G$ .
Jeśli $G$ jest grupą skończoną, $H$ jest jej podgrupą normalną oraz $\operatorname{NWD}(|H|, |G/H|)=1$ , to $H \blacktriangleleft G$ .