Przestrzeń polska

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przestrzenie polskie są specjalnym rodzajem przestrzeni topologicznych badanych w topologii i teorii mnogości.

W pierwszej połowie wieku XX, przestrzenie polskie odgrywały istotną rolę w analizie funkcjonalnej i teorii miary, później były podstawowym obiektem zainteresowania w opisowej teorii mnogości, a w ostatnich latach są kluczowe w badaniach borelowskich relacji równoważności oraz działań grup. W tym ostatnim kontekście specjalna pozycja zajmowana jest przez grupy polskie (grupy topologiczne które są przestrzeniami polskimi).

[edytuj] Definicja

Przestrzeń topologiczna $(X,τ)$ jest przestrzenią polską jeśli jest ona ośrodkowa oraz metryzowalna w sposób zupełny. Doskonała przestrzeń polska to przestrzeń polska bez punktów izolowanych, tzn. taka, w której nie ma jednopunktowych zbiorów otwartych.

Ponieważ głównym obiektem zainteresowania większości badań są doskonałe przestrzenie polskie, niektórzy autorzy używają terminu "przestrzeń polska" jako określenia na "doskonałą przestrzeń polską". Nazwa przestrzeni polskich została wprowadzona dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój topologii i opisowej teorii mnogości.

Należy podkreślić, iż celowo nie mówimy, że przestrzeń polska to ośrodkowa zupełna przestrzeń metryczna, aby podkreślić, że to topologia przestrzeni jest dla nas ważna, a nie metryka ją generująca.

[edytuj] Przykłady

Prosta rzeczywista ${\mathbb R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\mathbb R}^n$ jest doskonałą przestrzenią polską.
Każda co najwyżej przeliczalna przestrzeń dyskretna jest przestrzenią polską.
Jeśli $X i$ są przestrzeniami polskimi (dla $i=1,2,3,\ldots$ ), to ich produkt $\prod\limits_{i=1}^\infty X_i$ z topologią Tichonowa jest przestrzenią polską.
Przestrzeń Cantora $2 ω$ i przestrzeń Baire'a $ω ω$ , każda wyposażona w topologię produktu odpowiednich przestrzeni dyskretnych, są doskonałymi przestrzeniami polskimi.
Niech ${\mathcal C}([0,1])$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka $[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ . Wyposażmy ${\mathcal C}([0,1])$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę $d(f,g)=\sup\big(\{|f(x)-g(x)|:x\in [0,1]\}\big)$ . Wówczas ${\mathcal C}([0,1])$ jest doskonałą przestrzenią polską.

[edytuj] Własności

Przestrzenie polskie są przestrzeniami Baire'a: przekrój przeliczalnie wielu otwartych gęstych podzbiorów przestrzeni jest gęsty.
Aleksandrow udowodnił, że jeśli $X$ jest przestrzenią polską oraz $Y\subseteq X$ jest jej podzbiorem typu G_δ, to $Y$ (z topologią podprzestrzeni) też jest przestrzenią polską.
Wszyskie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli $X$ jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna $f - 1$ jest mierzalna.)
W szczególności każda doskonała przestrzeń polska jest mocy continuum.
Twierdzenie Kuratowskiego mówi że jeśli $X 1, X 2$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii $Z_1\subseteq X_1$ i $Z_2\subseteq X_2$ , takie że przestrzenie $X_1\setminus Z_1$ i $X_2\setminus Z_2$ są homeomorficzne.