Equação cúbica

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Gráfico de um polinómio cúbico:y = x3/4 + 3x2/4 − 3x/2 − 2 = (1/4)(x + 4)(x + 1)(x − 2)

Gráfico de um polinómio cúbico:
y = x³/4 + 3x²/4 − 3x/2 − 2
= (1/4)(x + 4)(x + 1)(x − 2)

Em Matemática, uma equação cúbica é uma equação polinomial de grau três. Um exemplo é a equação

2x³ − 4x² + 3x − 4 = 0

doravante usaremos a seguinte notação para a equação do terceiro grau:

α₃x³ + α₂x² + α₁x + α₀ = 0.

Suporemos sempre que α₃ é diferente de zero, pois caso contrário não seria uma equação de grau três.

Resolver a equação cúbica significa encontrar as suas raízes.

[editar] O método de Cardano

As soluções podem ser encontradas usando o seguinte método desenvolvido por Scipione del Ferro e Tartaglia, publicado por Gerolamo Cardano em 1545.

Começamos por dividir a equação por α₃ para chegarmos a uma equação da forma

$x^3 + ax^2 + bx +c = 0. \qquad (1)$

A substituição x = t - a/3 elimina o termo quadrático e em consequência de tal obtemos a equação

$t^3 + pt + q = 0, \quad\mbox{onde } p = b - \frac{a^2}3 \quad\mbox{e}\quad q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. \qquad (2)$

Esta é chamada a cúbica reduzida.

Suponhamos agora que podemos encontrar números u e v tais que

$u^3-v^3 = q \quad\mbox{e}\quad uv = \frac{p}{3}. \qquad (3)$

Nesse vaso t = v - u é uma solução da equação, como pode ser confirmado substituindo o valor de t em (2) graças à seguinte identidade

$(v-u)^3+3uv(v-u)+(u^3-v^3)=0 \ .$

Resolvendo a segunda equação do sistema (3) em ordem a v, temos

$v = \frac{p}{3u}.$

A substituição de v na primeira equação de (3) dá

$u^3 - \frac{p^3}{27u^3} = q.$

Mas esta pode ser vista como uma equação quadrática para a incógnita u³. Resolvendo esta equação obtemos

$u=\sqrt[3]{{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. \qquad (4)$

Visto que t = v − u e t = x + a/3, temos

$x=\frac{p}{3u}-u-{a\over 3}.$

Note-se que existem seis possibilidades para o cálculo de u da equação (4), pois existem duas raizes quadradas ( $\pm$ ) e três raizes cúbicas complexas (a raiz principal e a raiz principal multiplicada por $-1/2 \pm i\sqrt{3}/2$ ). Contudo, qualquer que seja o sinal escolhido da raiz quadrada, este não afecta o x resultante, se bem que se tenha de ter algum cuidado em dois casos especiais para se evitarem divisões por zero. Primeiro, se p = 0, então devemos escolher o sinal da raiz quadrada que dá um valor não nulo para u, i.e. $u = \sqrt[3]{q}$ . Segundo, se p = q = 0, então temos a raiz real tripla x = −a/3.