Equação quadrática

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As soluções de uma equação quadrática correspondem às intersecções de uma parábola com o eixo das abcissas. No caso da figura, as soluções são x = -1 e x=2.

Equação quadrática ou equação do segundo grau é toda sentença matemática aberta da forma:

$ax^2 + bx + c = 0\,\!$

onde a, b e c são coeficientes e pertecem a um conjunto-universo previamente adotado, com a restrição de ser a diferente de zero.

A quantidade x, figurante no trinômio que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado — se existir no conjunto-universo adotado. Por essa razão é chamada de incógnita.

Equação quadrática é equação algébrica polinomial de grau dois, aplicando-se-lhe a teoria e as propriedades das equações polinomiais.

Índice

1 Introdução e nomenclatura
2 Solução da equação quadrática: A fórmula de Báskara
3 Propriedades matemáticas
- 3.1 Delta
- 3.2 Forma (S,P) da equação quadrática

[editar] Introdução e nomenclatura

A restrição imposta de ser a diferente de zero é de imediata compreensão: com efeito, se a = 0, a equação em causa deixará de ser do segundo grau, passando a ser tão-somente uma equação do primeiro grau. Também se pode dizer que é restrição necessária pelo fato de o coeficiente a figurar no denominador da fórmula que resolve a equação quadrática, o que, contudo, é fato posterior.

Importa considerar que, em se tratando de equação, deve-se falar em incógnita, não em variável.

Incógnita significa quantidade não conhecida, o que, de fato, é verdadeiro antes da solução da equação. É, também, por essa razão lógica, que a sentença matemática que descreve a equação é dita aberta, naturalmente antes da solução. Variável, por seu turno, é termo adequado à grandeza figurante numa função (ou relação, lato sensu), pois que aí, de fato ela é tal: variável independente, variável dependente. Uma ou mais, conforme se trate de função ou relação a uma ou mais variável(is).

[editar] Solução da equação quadrática: A fórmula de Báskara

Equações quadráticas completas resolvem-se por transformar o trinômio do segundo grau num quadrado perfeito de binômio do primeiro grau.

A resolução subseqüente conduz à chamada formula de Báskara, que é a fórmula resolvente:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\!$

Eis, passo a passo, as transformações:

$ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow$

$(4a)(ax^2 + bx + c) = (4a)\cdot 0 \Leftrightarrow$

$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \Leftrightarrow$

$(2ax)^2 + 2(2ax)b = -4ac \Leftrightarrow$

$(2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = -4ac + b^2 \Leftrightarrow$

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\Leftrightarrow$

$\left|2ax + b\right| = \sqrt{b^2 - 4ac}$

Então tem-se por definição de módulo que:

Se $(2ax+b) \ge 0\,\!$

$2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow$

$2ax = \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow$

$x = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,\!$

Se $(2ax+b) < 0\,\!$

$- (2ax + b) = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow$

$2ax + b = - \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow$

$2ax = - \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow$

$x = \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,\!$

Portanto,

$x=\left \{\begin{matrix} \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_1 \\ \\ \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_2 \end{matrix}\right. \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

A existirem as duas raízes, $r_1\,\!$ e $r_2\,\!$ respectivamente, a seguinte equação também é equivalente:

$(x-r_1)(x-r_2)=0\,\!$

[editar] Propriedades matemáticas

[editar] Delta

O polinômio dentro da raíz da fórmula resolvente é chamado de delta ou discriminante.

$\Delta = b^2-4ac\,\!$

Dessa forma, a fórmula resolvente pode ser escrita na forma:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!$

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

Se $\Delta > 0\,\!$ , a equação terá duas raízes reais e distintas.
Se $\Delta = 0\,\!$ , a equação terá duas raízes reais e iguais.
Se $\Delta < 0\,\!$ , a equação terá duas raízes complexas.

O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática.

[editar] Forma (S,P) da equação quadrática

Outra forma de resolver equações é através da soma (S) e produto (P), dada pela fórmula:

$x^2-Sx+P=0\,\!$

onde:

$r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}$

$r_1 . r_2 = \frac{c}{a}$

Assim, munido dessas propriedades, podem-se avaliar as raízes em muitos (não em todos...) casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

Equações polinomiais

Linear – Quadrática – Cúbica – Quártica – Quíntica – Sêxtica

Teorema fundamental da álgebra – Teorema de Abel-Ruffini

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../e/q/u/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica.html"

Categoria: Equações polinomiais