Teorema de Bolzano-Weierstrass

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O teorema de Bolzano-Weierstrass, estabelece que um conjunto do $\mathbb{R}^n\,$ é seqüencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.

Por seqüencialmente compacto, entende-se que toda seqüência extraída do conjunto, possui uma subseqüência convergente. Ou seja, se $K\,$ é um conjunto seqüencialmente compacto e $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ é uma seqüência de pontos pertencentes a $K\,$ , então existe uma subseqüência $\{x_{n_k}\}\,$ tal que:

$\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=x^*\in K\,$

Um conjunto $F\,$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em $F\,$ converge em $F\,$ , ou seja:

$x_n \in F$ e $x_n\to x\,$ , então: $x\in F\,$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Índice

1 Lema de Bolzano-Weierstrass na reta
2 Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões
3 Fechado e limitado implica seqüencialmente compacto
4 Sequêncialmente compacto implica limitado
5 Seqüencialmente compacto implica fechado
6 Veja também

[editar] Lema de Bolzano-Weierstrass na reta

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja $x_n\,$ , uma seqüencia limitada em $\mathbb{R}\,$ , então existe uma subseqüência $x_{n_k}\,$ convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina $x_{n_1}=x_1\,$

Como $x_n\,$ é limitada, existe um intervalo $[a_1,b_1]\,$ tal que:

$x_n\in[a_1,b_1],~~\forall n \,$

Seja $M_1=\frac{b-a}{2}\,$ o ponto médio entre $a_1\,$ e $b_1\,$ .

Como $[a,b]=[a,M_1]\bigcup [M_1,b]\,$ , deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que $x_n\,$ pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina $x_{n_2}\,$ como qualquer elemento da seqüência que pertence ao intervalo escolhido contando que $n_2>n_1\,$ .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

$a_2=M_1\hbox{ e } b_2=b2\,$

Caso contrário escolha:

$a_2=a_1\hbox{ e } b_2=M_1\,$

Observe que:

$b_2-a_2 = \frac{b_1-a_1}{2}\,$ , ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma seqüência de intervalos $[a_n,b_n]\,$ e de pontos $x_{n_k}\,$ com as seguintes propriedades:

$x_{n_k}\in [a_k,b_k]\,$
$b_k-a_k=\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2}=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\,$
$a_k\geq a_{k-1}\,$
$b_k\leq b_{k-1}\,$

Assim, $a_k\,$ é uma seqüência crescente e limitada superiormente por $b_1\,$ , portanto converge para um limite $a\,$ . $b_k\,$ é uma seqüência decrescente e limitada inferiormente por $a_1\,$ , portanto também converge para um limite $b\,$ .

Mas $b_k-a_k=\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}\to 0\,$ , portanto $a=b\,$ . Como $a_k\leq x_{n_k}\leq b_k\,$ , o teorema do confronto estabelece que $x_{n_k}\,$ converge para o mesmo limite.

[editar] Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões

O idéia agora é generalizar a demonstração acima para $\mathbb{R}^m\,$

Então seja $x_n\,$ limitada em $\mathbb{R}^n\,$ , existe uma hipercubo que contém a seqüência:

$x_n\in [a^1_1,b^1_1]\times [a^2_1,b^2_1]\times\ldots\times[a^n_1,b^n_1]\,$

Constrói-se uma seqüência $\{x_{n_k}\}\,$ da mesma forma como em $\mathbb{R}\,$ .

Agora escreva as componentes do vetor $x_{n_k}=(x^1_{n_k},x^2_{n_k},\ldots,x^m_{n_k})\,$ . Como $a^i_k\leq x^i_{n_k}\leq b^i_k, i=1,2,\ldots,n\,$ , temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: $x_{n_k}\to x^*\,$ O resultado segue.

[editar] Fechado e limitado implica seqüencialmente compacto

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostras que é seqüencialmente compacto.

Seja $\{x_n\}\,$ uma seqüência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a seqüência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subseqüência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

[editar] Sequêncialmente compacto implica limitado

Seja $F\,$ um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma seqüência $\{x_n\}\,$ tal que: $|x_n| \to \infty\,$ que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é seqüêncialmente compacto.

[editar] Seqüencialmente compacto implica fechado

Seja $K\,$ um conjunto seqüencialmente compacto e seja $\{x_n\}\,$ um seqüência convergente extraída de $K\,$ , da compacidade, segue que o limite pertence a $K\,$ e o resultado segue.