Conică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Reprezentare grafică 3D a generării conicelor:
A: Parabolă
B: Cerc şi elipsă
C: Hiperbole

În matematică, o conică este curba care se obţine prin intersectarea unui plan cu un con (mai exact este vorba de suprafaţa unui con drept, circular). Forma acestei curbe poate să difere destul de mult în funcţie de poziţia planului faţă de axa conului, deci este vorba de fapt despre o familie de curbe, numite în mod obişnuit „conice”. Ele au fost studiate din antichitate, de exemplu de Apollonius, în jurul anului 200 î.e.n..

[modifică] Tipuri de conice

În cazul în care se generază o curbă închisă, aceasta va fi o elipsă (sau, în cazul particular în care planul este perpendicular pe axa conului, un cerc). Altfel, va apărea o parabolă (dacă planul este paralel cu axa conului) sau o hiperbolă. În cazul hiperbolei apar de fapt două curbe deschise (uneori una dintre ele este ignorată). În general sunt ignorate de asemenea cazurile în care planul trece prin vârful conului, ori unghiul la vârf al conului este de 90 de grade.

[modifică] Reprezentarea în coordonate carteziene

În coordonate carteziene, conicele sunt mulţimea punctelor care satisfac următoarea ecuaţie:

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\;$ .

Atunci:

dacă B² − 4AC < 0, ecuaţia reprezintă o elipsă (dacă are soluţii, de exemplu x² + y² + 10 = 0 nu are nici o soluţie);
- dacă $A = C$ şi $B = 0$ , ecuaţia reprezintă un cerc;
dacă $B 2 - 4 A C = 0$ , ajungem la o parabolă;
dacă B² − 4AC > 0, ecuaţia reprezintă o hiperbolă;
- dacă şi $A + B = 0$ , avem o hiperbolă dreaptă.

Notă: A şi B sunt doar nişte coeficienţi polinomiali, nu lungimile axelor geometrice ale curbelor.

Schimbând coordonatele se poate ajunge la ecuaţiile binecunoscute ale acestor curbe (restricţionate însă la fi simetrice faţă de una sau ambele axe ale sistemului de coordonate):

Cerc: $x^2+y^2=a^2\,$
Elipsă: ${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1$
Parabolă: $y^2=4ax\,$
Hiperbolă: ${x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=1$

Scrise parametrizat, ecuaţiile sunt:

Cerc: $(a\cos\theta,a\sin\theta)\,$ ,
Elipsă: $(a\cos\theta,b\sin\theta)\,$ ,
Parabolă: $(a t^2,2 a t)\,$ ,
Hiperbolă: $(a\sec\theta,b\mbox{ tg }\theta)\,$ sau $(\pm a\cosh u,b \sinh u)\,$ .