Integrál

Z Wikipédie

Integrál je spolu s deriváciou najdôležitejší pojem matematickej analýzy. Pojem integrálu je zovšeobecnením pojmov ako plocha, objem, súčet či suma. Integrovanie je opačná operácia k derivovaniu.

Obsah

1 Neurčitý integrál
2 Názorné vysvetlenie
3 Tabuľkové integrály
4 Presnejšia definícia
5 Komplexný integrál

[úprava] Neurčitý integrál

Definícia: Funkcia F sa nazýva primitívna funkcia k funkcii f na otvorenom intervale I, ak platí F' = f na intervale I.

$\int {f(x)}\, \mathrm{d}x = F(x) + c.$

Hľadanie neurčitého integrálu (primitívnej funkcie) je opačný proces k určovaniu derivácie. Pri výpočte sa vychádza zo známych integrálov (tzv. tabuľkové integrály) a využíva sa lineárnosť, metóda per partes a substitučná metóda.

[úprava] Názorné vysvetlenie

Integrál ako plocha pod krivkou.

Jednoducho povedané, určitý integrál nezápornej funkcie f(x) medzi nejakými dvoma bodmi a, b je rovný ploche obrazca ohraničeného priamkami x = a, x = b, osou x a krivkou definovanou funkciou f. Formálnejšie povedané, taký integrál je rovný miere množiny S definovanej ako

$S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\}.$

Integrál sa označuje štylizovaným pretiahnutým písmenom S (z lat. summa). Toto značenie zaviedol matematik Gottfried Leibniz.

Integrál popísaný v predchádzajúcom odseku by sa zapísal ako $\begin{matrix}\int^b_af(x)\,\mathrm{d}x\end{matrix}$ , kde znak $\begin{matrix}\int\end{matrix}$ označuje integrovanie, a a b sú integračné medze (len pri určitom integrále), dx označuje premennú, podľa ktorej sa integruje (pôvodne označovalo infinitezimálnu hodnotu, ale dnes slúži len ako rýdzo symbolické označenie bez ďalšieho významu).

[úprava] Tabuľkové integrály

$\int {0} \,\mathrm{d}x = c$

$\int {x^n} \,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c ; n \in \R$

$\int {\frac{1}{x}} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + c$

$\int {a^x} \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + c ; a = {\R}^{+} - \lbrace 1 \rbrace$

$\int {e^x} \,\mathrm{d}x = e^x + c$

$\int {\sin x} \,\mathrm{d}x = -\cos x + c$

$\int {\cos x} \,\mathrm{d}x = \sin x + c$

$\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,\mathrm{d}x = -\operatorname{cotg} \,x + c$

$\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,\mathrm{d}x = \operatorname{tg} \,x + c$

[úprava] Presnejšia definícia

Jestvuje veľa definícií integrálu, ktoré pre rozumne správajúce sa funkcie vedú k rovnakým výsledkom. Z nich najdôležitejšie sú Riemannov integrál a Lebesgueov integrál.

Riemannov integrál navrhol Bernhard Riemann roku 1854 a išlo o prvú definíciu integrálu zodpovedajúcu dnešným pomerom. Lebesgueov integrál vytvoril Henri Lebesgue. Lebesgueov integrál a ďalšie, ešte pokročilejšie integrály, umožňujúce integrovať širšie triedy funkcií, platia pre ne silnejšie verzie mnohých tvrdení a poskytujú mnohé výhody. Patrí sem napríklad Kurzweilov integrál.

[úprava] Komplexný integrál

V komplexných číslach sa spravidla používajú krivkové integrály. Ak tieto integrály prebiehajú po uzavretej krivke v komplexnej rovine, potom je spravidla možné ich spočítať pomocou reziduálnej vety, Cauchynovho vzorca alebo Cauchynovej vety.

Zdroj: "http://sk.wikipedia.org../../../i/n/t/Integr%C3%A1l.html"

Kategória: Integrálny počet