Kompleksno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Množica kompléksnih števíl predstavlja razširitev realnih števil, v kateri lahko korenimo tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto $i$ (v elektrotehniki zasledimo tudi oznako $j$ ), kjer je $i 2 = - 1$ . Kompleksna števila so oblike $x + i y$ , kjer je $x$ realni del kompleksnega števila, $y$ pa imaginarni del.

Koristne so tudi naslednje enačbe:

i 1 = i

i 2 = - 1

i 3 = i 2 * i = ( - 1) * i = - i

i 4 = i 2 * i 2 = ( - 1) * ( - 1) = 1

Seštevanje in množenje kompleksnih števil:

$( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) \,$

$( a + ib ) \cdot ( c + id ) = ac - bd + i ( bc + ad ) \,$

Množico kompleksnih števil je z relacijo leksikografske urejenosti po obeh realnih komponentah moč urediti, nikakor pa je ni moč dobro urediti.

[uredi] Definicija

Formalno lahko kompleksna števila določimo kot urejen par realnih števil (a,b) skupaj z operacijami:

$( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,$
$( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \,$

Tako urejena kompleksna števila tvorijo polje, označeno z znakom C oziroma $\mathbb{C}$ . Realna števila se v množici C zapišejo kot (a, 0). Tako so realna števila podmnožica množice C. Imaginarna enota $i$ je predstavljena kot (0,1).

Množica C ima naslednje posebne elemente:

identiteto za seštevanje: (0,0)
identiteto za množenje: (1,0)
inverzni element glede na seštevanje elementa (a,b): (−a,−b)
inverzni element za množenje neničelnega elementa (a,b): $\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right)$

[uredi] Geometrija

Kompleksno število si lahko predstavljamo tudi kot točko ali vektor v kartezičnem koordinatnem sistemu.

$z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ). \,$

Ta enačba se zapiše tudi kot r cis φ, kjer je r = |z| (absolutna vrednost z) in φ = arg(z) (argument z). Eulerjeva enačba pa pravi e^{i φ} = cisφ. Eksponentni zapis je bolj nazoren kot okrajšani zapis r cis φ. Z enostavnimi trigonometričnimi enakostmi lahko pokažemo, da

$r_1 e^{i \phi_1} \cdot r_2 e^{i \phi_2} = r_1 r_2 e^{i (\phi_1 + \phi_2)} \,$

$\frac{r_1 e^{i \phi_1}} {r_2 e^{i \phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)} \,$

Tako je seštevanje dveh kompleksnih števil samo seštevanje dveh vektorjev, množenje z določenim kompleksnim številom pa je hkratno vrtenje in razteg.

Množenje z i je enakovredno vrtenju v nasprotni smeri urinega kazalca za 90 stopinj. Geometrijski ekvivalent enačbe i² = -1 je vrtenje za 180 stopinj. Tako lahko tudi na enačbo (-1) · (-1) = 1 geometrijsko gledamo kot na dve vrtenji za 180 stopinj, torej vrtenje za 360 stopinj.

[uredi] Absolutna vrednost, konjugacija in razdalja

Absolutna vrednost kompleksnega števila z = r e^iφ je definirana kot |z| = r. Algebraično gledano, če je z = a + ib, potem je |z| = √(a² + b²).

Absolutna vrednost ima tri pomembne lastnosti:

$| z + w | \leq | z | + | w | \,$

$| z w | = | z | \; | w | \,$

$| z / w | = | z | / | w | \,$

za vsa kompleksna števila z in w. Z definiranjem razdalje d(z,w) = |z + w| pretvorimo kompleksna števila v metrični sistem, kateremu lahko potem določimo meje in govorimo o zveznosti. Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje (z izjemo deljenja z ničlo) so tako zvezne operacije.

Konjugacija kompleksnega števila z = a + ib je definirana kot a - ib, kar zapišemo kot $\bar{z}$ ali z^*. Kot lahko vidimo na sliki, je geometrijska ponazoritev konjugacije $\bar{z}$ zrcaljenje števila z prek realne osi.

Velja naslednje:

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

$\bar{\bar{z}}=z$

$\bar{z}=z$ če in samo če je z realno število

$|z|=|\bar{z}|$

$|z|^2 = z\bar{z}$

$z^{-1} = \bar{z}|z|^{-2}$ če z ni nič

Konjugacija je komutativna z vsemi algebraičnimi operacijami (in z nekaterimi funkcijami, npr. $\sin\bar z=\overline{\sin z}$ ), kar je tesno povezano z imaginarno enoto i (-1 ima dva različna kvadratna korena). Konjugacija ni odvedljiva operacija.

[uredi] Deljenje kompleksnih števil

Kompleksno število a + ib želimo zdeliti z neničelnim kompleksnim številom c + id. To lahko storimo na dva načina. Prva možnost je, da kompleksno število pretvorimo v eksponentno obliko iz katere je potem lahko izračunati kvocient. Pri drugi možnosti kvocient izrazimo kot ulomek, nato pa imenovalec in števec pomnožimo s konjugiranim imenovalcem, kar nas privede do realnega imenovalca:

${a + ib \over c + id} = {(a + i b) (c - i d) \over (c + i d) (c - i d)} = {(a c + b d) + i (b c - a d) \over c^2 + d^2}$