சிக்கலெண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

செறிவெண்ணை விளக்கும் வரைபடம். இரு செங்குத்தான அச்சுக் கோடுகளில் கிடைக் கோடு (x - அச்சு) மெய்யெண்ணையும் நெடுக்குக்கோடு (y - அச்சு) கற்பனை எண்ணையும் குறிக்கப் பயன்படுத்தினால், இந்த சமதளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு செறிவெண்ணைக் குறிக்கும்.

கணிதவியலில் செறிவெண் (Complex Number) என்பது ஒரு மெய்யெண்ணும் ஒரு கற்பனை எண்ணும் சேர்ந்த ஒரு கூட்டெண் ஆகும். இது சிக்கல் எண் என்றும் கலப்பெண் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றது.

a, b என்பது இரு மெய்யெண்களைக் குறிப்பதாக இருந்தால் c என்னும் செறிவெண்ணானது கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கப்படும்

$c = a + bi \,$

மேலே குறிப்பிட்ட i என்பது கற்பனை எண்ணைக் குறிப்பிடும் அலகு. இதன் மதிப்பு i ² = −1. $\ c$ என்னும் செறிவெண்ணில், $\ a$ என்னும் மெய்யெண்ணை மெய்ப் பகுதி என்றும், $\ b$ என்னும் மெய்யெண்ணை கற்பனைப் பகுதி என்றும் அழைக்கப்படும். கற்பனைப் பகுதி b ஆனது சுழியாக, 0, இருக்குமானால் அந்த செறிவெண் வெறும் மெய்யெண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக , 3 + 2i என்பது ஒரு செறிவெண். இச் செறிவெண்ணின் மெய்ப்பகுதி 3 ஆகும், கற்பனைப்பகுதி 2 ஆகும்.

செறிவெண்களை மெய்யெண்களைப் போலவே கூட்டவும், கழிக்கவும், பெருக்கவும், வகுக்கவும் இயலும். a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ போன்ற பல்லடுக்குத் தொடர்களின் வேர்களை மெய்யெண்களை மட்டும் கொண்டு காண இயலாது. ஆனால் செறிவெண்களையும் சேர்த்துக்கொண்டால், இவ்வகை பல்லடுக்குகளுக்குத் தீர்வும் காண இயலும்.

பொறியியலிலும் அறிவியலிலும் செறிவெண்கள் பரவலாக பயன்படுகின்றன.

பொருளடக்கம்

1 வரையரைகள்

[தொகு] வரையரைகள்

[தொகு] ஈடுகோள்கள் (சமன்பாடுகள்)

இரு செறிவெண்கள் ஒன்றுக்கு ஒன்று எப்பொழுது சமம் (ஈடு) ஆகும் என்றால், (1) அவ்விரு செறிவெண்களின் மெய்ப்பகுதிகளும் சமமாக இருத்தல்வேண்டும், (2) அதேபோல கற்பனைப்பகுதிகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாகவும் (ஈடாகவும்) இருத்தல் வேண்டும், அப்பொழுது மட்டுமே அவ்விரு செறிவெண்களும் சமம் (ஈடு) ஆகும்.

[தொகு] செறிவெண்ணின் துணை

ஒரு செறிவெண் z = a + ib என்று கொண்டால் அதன் துணைச் செறிவெண் a - ib என்பதாகும். எனவே மெய்ப்பகுதி சமமாகவும், கற்பனைப்பகுதி செறிவெண்ணில் இருப்பதற்கு எதிர்ம மெய் எண்ணாக இருப்பின் அது துணைச் செறிவெண் எனப்படும். கணிதக் குறியீட்டில் செறிவெண்ணைக் குறிக்கும் எழுத்தின் மேலே ஒரு கோடோ, அல்லது ஒரு நாள்மீன் குறியோ அல்லது எழுத்தின் பின்னே ஓர் ஒற்றை மேற்கோள் குறியோ இட்டுக் காண்பிப்பது வழக்கம், எடுத்துக்காட்டுகள் : $\bar{z}$ அல்லது $z^*\,$ அல்லது $z^'\,$ . கீழே காணும் சமன் பாடுகள் சரிதான் என்பதைத் தேர்ந்து காணலாம்:

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

$\bar{\bar{z}}=z$

$\bar{z}=z$ z என்பது வெறும் மெய் எண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே இது உண்மை.

$|z|=|\bar{z}|$

$|z|^2 = z\bar{z}$

$z^{-1} = \bar{z}|z|^{-2}$ இது z என்பது சுழியல்லாமல் இருந்தால்.

[தொகு] குறியீடுகளும் செறிவெண்களைக் கொண்டு செய்யும் கணித வினைகளும்

எல்லா செறிவெண்களையும் கொண்ட கணத்தை (set) தடித்த கொட்டை எழுத்தில் $\mathbb{C}$ என குறிக்கப்பெறும். மெய்யெண்களின் தொகுதியை இந்த செறிவெண் கணத்தின் ஒரு பகுதியாகக் (உட்கணமாகக்) கொள்ள முடியும். ஏனெனில் ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் $a = a + 0 i$ போன்ற ஒரு செறிவெண்தான்.

செறிவெண்களை கீழ்க்காணுமாறு கூட்டவும், கழிக்கவும், பெருக்கவும் இயலும்.

$\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

$\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

$\,(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$

$\, i.i= i^2 = -1$ என்பதை மனதில் கொள்ளவேண்டும்.

மேலே காட்டப்பட்டவாறு செறிவெண்களை கூட்டுவதிலும், கழிப்பதிலும் பெருக்குவதிலும், ஆளப்படும் முறை இயற்கூறு கணிதவியலில் பொதுவாக ஆளப்படும் பண்புகளாகும். அவையாவன ஒட்டுறவு (associative), மாற்றுறவு (commutative), பிரித்தளித்தல் (distributive) ஆகிய பண்புகளாகும். இதே போல செறிவெண்களை வகுக்கவும் இயலும்.

"http://ta.wikipedia.org../../../%E0%AE%9A/%E0%AE%BF/%E0%AE%95/%E0%AE%9A%E0%AE%BF%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%B2%E0%AF%86%E0%AE%A3%E0%AF%8D.html" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது

பக்க வகைகள்: கணிதம் | எண்கள்