Komplekst tall

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

De komplekse tallene er tall som inneholder både en reell del og en imaginær del. Et eksempel på et kompekst tall er løsningen til ligningen $x 2 = - 4$ . Ingen reelle tall kan oppfylle denne ligningen siden et reelt tall multiplisert med seg selv alltid vil gi et positivt resultat. Ved å innføre de imaginære tallene kan vi likevel si at ligningen har en løsning.

Komplekse tall skrives vanligvis på formen:

$a + bi\,$

Der

a og b er reelle tall
i er den imaginære enhet

Innhold

1 Det komplekse planet
2 Andre skrivemåter
- 2.1 Geometrisk form
- 2.2 Eksponentialform
3 Se også

[rediger] Det komplekse planet

Det komplekse tallplanet med forskjellige geometriske konstruksjoner av tallet (a,b)

På samme måte som de reelle tallene kan symboliseres med en tallinje, så kan ethvert komplekst tall representeres som et punkt i det komplekse planet. X- og Y-aksen i et vanlig todimensjonalt koordinatsystem byttes da ut med henholdsvis en reell og en imaginær akse. Tallet a +bi tilsvarer punktet (a,b).

[rediger] Andre skrivemåter

[rediger] Geometrisk form

Alle punkter i det komplekse tallplanet kan oppgis entydig ved at vi spesifiserer retning og avstand fra origo. Dermed ser vi på figuren at et komplekst tall kan skrives på geometrisk form:

$z = r (\cos \phi + i\sin \phi)\,$

Der

z = a +bi
a = rcos θ er den reelle delen av z
b = rsin θ er den imaginære delen av z
$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ er avstanden fra origo til punktet (a,b)
φ er vinkelen mot klokken mellom den reelle aksen og linjen fra origo til punktet (a,b)

[rediger] Eksponentialform

Leonhard Euler har gitt navn til en annen skrivemåte for komplekse tall. Eulers ligning forenkler det hele, ved at man kan angi tallet z på formen:

$z = re^{i\phi}\,$

Der

e er basen for eksponentialfunksjonen

Den algebraiske skrivemåten (z = a +bi) er praktisk for elementær regning, siden for eksempel (a +bi) + (c +di) = (a + c) + i(b + d), men blir komplisert ved multiplikasjon.

Eksponentialformen (z = re^iφ) er praktisk for multiplikasjon og analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder:

$r_1e^{i\phi} \cdot r_2e^{i\theta} = r_1r_2e^{i(\phi+\theta)}$

$\frac{r_1e^{i\phi}}{r_2e^{i\theta}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\phi-\theta)}$

Hvis et komplekst tall tolkes som en vektor, gis multiplikasjon – i henhold til det ovenfor – betydningen at om z multipliseres med re^iφ, så forlenges vektoren med faktor r og vris mot klokken med vinkel φ.