Арифметика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Арифме́тика (від грецького arithmos — число) — наука, що вивчає дії над цілими числами, вчить розв'язувати задачі, які зводяться до додавання, віднімання, множення і ділення цих чисел. Арифметику часто вважають першою сходинкою математики, знаючи яку можна вивчати складніші її розділи — алгебру, математичний аналіз, тощо. Навіть цілі числа — основний об'єкт арифметики — відносять, коли розглядають їх загальні властивості і закономірності, до вищої арифметики, чи теорії чисел.

Арифметика і геометрія — давні супутники людини. Ці науки з'явилися тоді, коли виникла необхідність рахувати предмети, вимірювати земельні ділянки та час. Арифметика виникла в країнах стародавнього Сходу: Вавілоні, Китаї, Індії, Єгипті. Наприклад, єгипетський папірус Ринда (названий на ім'я його власника Г. Ринда) належить до ХХ ст. до н. е. Серед інших відомостей він містить розклад дробів на суму дробів з числівником — одиницею, наприклад:

$\frac{2}{73} = \frac{1}{60} + \frac{1}{219} + \frac{1}{292} + \frac{1}{365}$

Математичні знання накопичені в країнах стародавнього Сходу розвивалися далі вченими давньої Греції. Історія зберегла імена багатьох вчених, які займалися арифметикою в античному світі: Анаксагор, Зенон, Евклід, Архімед, Ератосфен, Діофант. Особливо варто виділити ім'я Піфагора, Піфагорійці (учні й послідовники Піфагора) обожнювали числа, вважаючи, що в них міститься вся гармонія світу. Окремим числам і парам чисел приписувалися особливі властивості. У великій пошані були числа 7 і 36, тоді ж було звернуто увагу на так звані ідеальні числа, дружні числа, тощо.

У середні віки розвиток арифметики також пов'язано зі Сходом: Індією, країнами арабського світу та Середньої Азії. Від індійців прийшли до нас цифри, якими ми користуємося, нуль і позиційна система числення; від аль-Каши (ХV ст.), що працював в Самаркандскій обсерваторії Улугбека, — десяткові дроби. Завдяки розвитку торгівлі і впливу східної культури починаючи з XIII ст. підвищується інтерес до арифметики і в Європі. Так твір італійського вченого Леонардо Пізанського (Фібоначчі) «Книга абака» знайомив європейців з основними досягненнями математики Сходу і став початком багатьох досліджень в арифметиці і алгебрі.

Водночас з винаходом книгодрукування (середина ХV ст.) з'явилися перші друковані книги з математики. Перша друкована книга з арифметики була видана в Італії в 1478 р. В «Повній арифметиці» німецького математика М. Штифеля (початок XVI ст.) вже є від'ємні числа навіть ідея логарифмування. Приблизно з XVI ст. розвиток арифметики зливається з алгеброю. Значними подіями були праці Ф. Вієта, у яких числа позначені літерами. Починаючи з цього часу основні арифметичні правила усвідомлюються вже остаточно з позицій алгебри.

Основний об'єкт арифметики — число. Натуральні числа виникли з рахунку конкретних предметів. Минуло багато тисячоліть, перш ніж люди засвоїли, що два птахи, дві руки, двоє людей можна назвати одним і тим же словом — «два». Важливе завдання арифметики — навчитися абстрагуватися від форми предметів, їх розміру, кольору. Вже у Фібоначчі є задача: «Сім жінок йдуть у Рим. У кожної по 7 мулів, кожен мул несе по 7 мішків, в кожному мішку по 7 хлібів, в кожному хлібі 7 ножів, кожен ніж в 7 ножнах. Скільки всіх?» Для розв'язку цієї задачі додати жінок мулів, мішки і хліби. Розвиток поняття числа — поява нуля і від'ємних чисел, звичайних і десяткових дробів, способи запису чисел (цифри, позначення, системи числення) — все це має багату і цікаву історію.

У арифметиці числа додають, віднімають, множать і ділять. Мистецтво швидко і безпомилково виконувати ці дії над будь-якими числами довго вважалося найважливішим завданням арифметики. В наш час усно чи на папері ми робимо лише найпростіші обчислення, а складніші — за допомогою обчислювальної техніки.

Серед важливих понятть, які запровадила арифметика, були пропорції та відсотки. Більшість понять і методів арифметики ґрунтується на залежностях між числами. У історії математики процес злиття арифметики і геометрії відбувався протягом багатьох століть. Можна чітко простежити «геометризацію» арифметики: складні правила і закономірності, виражені формулами, стають зрозумілішими, якщо вдається зобразити їх геометрично. Велику роль у самій математиці і її додатках відіграє зворотний процесс — переклад геометричної інформації на мову чисел (див. Графічні обчислення). В основі цього перекладу лежить ідея французького філософа і математика Р. Декарта визначення точок на площині координатами. Зрозуміло, до нього ця ідея вже використовувалася, приміром в морській справі, коли треба було визначити місцезнаходження корабля, а також астрономії, геодезії. Але саме від Декарта і його учнів йде послідовне застосування мови координат. І в наш час при управлінні складними процесами (наприклад, польотом космічного апарату) воліють мати всю інформацію в вигляді чисел, які й обробляє обчислювальна машина.

УРЕ:

АРИФМЕТИКА (грец. αριθμος — число) — наука про числа. Як галузь математики А. рівнозначна з чисел теорією. А. є також назвою шкільної дисципліни, яка знайомить з додатними раціональними числами, арифм. діями з ними та деякими відомостями про подільність цілих чисел. Навчання А. розвиває логічне мислення дітей, їхню кмітливість, дає необхідну підготовку до практич. діяльності і дальшого вивчення математики й фізики. У середній школі вивчають також числа від'ємні раціональні, ірраціональні і комплексні. Відповідні розділи теорії чисел прийнято об'єднувати в навчальну дисципліну вищої пед. школи під назвою теоретична А.

Поняття цілого додатного числа і дій з такими числами формувалися у виробнич. діяльності людства з дуже давніх часів. Найдавніші письмові пам'ятки з арифм. відомостями (єгип. папіруси і вавілон. таблички початку 2-го тис. до н. е.) вже знайомлять з цілими і дробовими (додатними) числами, з 4 діями, подають розв'язання арифм. задач. Пізніші пам'ятки вавілон. культури (1-е тис. до н. е.) свідчать про високу обчислювальну техніку і вироблення позиційної системи числення з основою 60. Перші теоретичні дослідження з А. було виконано у Старод. Греції. Грецькій математиці належать розроблення основ теорії подільності, вироблення поняття про нескінченність послідовності цілих чисел (натурального ряду), впровадження ірраціональних чисел та розробка їх теорії, доведення нескінченності множини простих чисел та ін. Протягом середньовіччя А. розвивалася в основному народами Сходу (впровадження від'ємних чисел — Індія, Середня Азія; позиційна система числення з основою 10 і записом нуля — Індія; удосконалення техніки арифм. дій, винахід десяткових дробів — Середня Азія). Наука арабізованих країн Сходу і через її посередництво наука Європи поступово освоюють теоретичну спадщину грецької математики. В 16—17 ст. найсприятливіші умови для розвитку науки склалися в зх.-європ. країнах. Тут у зв'язку з розвитком алгебри входять у вжиток від'ємні числа, впроваджуються комплексні числа, відкриваються ланцюгові і, вдруге, десяткові дроби. Поступово поняття числа абстрагується від конкретних процесів лічби певних предметів та вимірювання, і числа вже не розглядаються як «іменовані». У 18 ст. переважно завдяки дослідженням Л. Ейлера теорія чисел став самостійною наук. дисципліною. В 19 ст. дослідження складних питань теорії чисел привели до значного узагальнення поняття цілого числа (К. Гаусс, Е. Куммер, Ю. Дедекінд, Є. І. Золотарьов) і певного завершення теорії подільності. У зв'язку з цим укр. математик Г. ф. Вороний і нім. математик Г. Мінковський подали важливе узагальнення алгоритму ланцюгових дробів. Геометрична інтерпретація комплексних чисел, відома з початку століття, забезпечила їм права громадянства в алгебрі та матем. аналізі і стала основою дальших узагальнень. У свою чергу, сучасні теорії дійсного числа розроблено у зв'язку з потребами А. і математичного аналізу на основі властивостей раціональних чисел (Ю. Дедекінд, Г. Кантор, К. Вейєрштрасс). Тільки в кінці 19 ст. досить повно розроблено аксіоматику натуральних чисел і дій з ними (в основному Д. Пеано).

З поч. 20 ст. зміст і структура розділів А. залишаються в основному без змін. У навчальних планах рад. вищих пед. закладів теоретична А. фігурує як розділ курсу елементарної математики фіз.-матем. факультетів. Розроблення цього курсу належить майже винятково діячам рад. вищої школи.