Матриця (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Стосовно квадратних матриць дивіться Квадратні матриці.

Матриця — в математиці прямокутна таблиця чисел або взагалі елементів кільця. У цій статті, якщо не зазначено інше, елементами матриці вважатимемо дійсні або комплексні числа.

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, та для відстеження коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень.

Про розвиток та застосування матриць див. Теорія матриць.

Зміст

1 Означення та нотація
- 1.1 Приклад
2 Додавання та множення матриць
3 Лінійні перетворення, ранг і транспонування
4 Спеціальні види матриць
5 Матриці в абстрактній алгебрі
6 Історія
7 Дивіться також
8 Посилання

[ред.] Означення та нотація

Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпчиками. Матрицю, що складається з m рядків та n стовпчиків, називають матрицею m-на-n (або mn-матицею), а m і n — її розмірністю.

Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.
Записують це як A[i,j] або A_i,j, або, в нотації мови програмування C, A[i][j].

Часто пишуть $A:=(a_{i,j})_{n \times m}$ для означення матриці A розмірності n x m, де кожен елемент матриці A[i,j] позначають як a_ij для всіх 0 ≤ i < n та 0 ≤ j < m.

[ред.] Приклад

Матриця

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&1&5\end{bmatrix}$

є матрицею 4×3. Зверніть увагу, що індексація починається з 0, тож елемент A[1,2], або a_1,2, дорівнює 7.

[ред.] Додавання та множення матриць

[ред.] Додавання

Якщо дано дві матриці m-на-n A і B, можемо означити їх суму A + B як матрицю m-на-n, що розраховується додаванням відповідних елементів,
себто, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Наприклад,

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

[ред.] Множення на скаляр

Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[i, j] = cA[i, j]. Наприклад,

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

З цими двома операціями множина M(m, n, R) усіх матриць m-на-n з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.

[ред.] Множення

Множення двох матриць має сенс лише тоді, коли число стовпчиків першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці. Якщо A — матриця m-на-n (m рядків, n стовпчиків), а B — матриця n-на-p (n рядків, p стовпчиків), їх добуток AB є матрицею m-на-p (m рядків, p стовпчиків), що розраховується за формулою:

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] для кожної пари i та j.

Наприклад,

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Це множення має такі властивості:

(AB)C = A(BC) для всіх матриць A розмірності k-на-m, B розмірності m-на-n і C розмірності n-на-p ("асоціативність").
(A + B)C = AC + BC для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності n-на-k ("дистрибутивність").
C(A + B) = CA + CB для всіх матриць A і B розмірності m-на-n і матриць C розмірності k-на-m ("дистрибутивність").

Важливе зауваження: комутативність має місце не завжди: для добутку певних матриць A і B може бути AB ≠ BA.

Матриці називають антикомутативними, якщо AB = −BA. Такі матриці є дуже важливими в представленнях алгебр Лі та в представленнях алгебр Кліффорда.

[ред.] Лінійні перетворення, ранг і транспонування

Матриці можуть зручно представляти лінійні перетворення, оскільки множення матриць точно відповідає композиції відображень, як це буде показано далі.

Надалі ототожнюватимемо Rⁿ з множиною рядків або матриць n-на-1. Для кожного лінійного відображення f : Rⁿ -> R^m існує єдина матриця A розмірності m-на-n така, що f(x) = Ax для всіх x з Rⁿ. Кажемо, що матриця A "представляє" лінійне відображення f. Тепер, якщо матриця B розмірності k-на-m представляє інше лінійне відображення g : R^m -> R^k, лінійне відображення g o f представлене матрицею BA. Це випливає з зазначеної вище властивості асоціативності множення матриць.

Ранг матриці A — це розмірність образа лінійного відображення, представленого матрицею A. Вона співпадає з розмірністю простору, згенерованого рядками матриці A, а також із розміром простору, згенерованого стовпчиками матриці A.

Транспонованою матрицею матриці A розмірності m-на-n є матриця A^tr (також иноді позначають як A^T або ^tA) розмірності n-на-m, яку одержують заміною рядків стовпчиками і навпаки, себто A^tr[i, j] = A[j, i] для всіх індексів i та j. Якщо A описує лінійне відображення відносно двох базисів, матриця A ^tr описує транспозицію лінійного відображення відносно дуальних базисів, див. дуальний простір.

Маємо (A + B)^tr = A^tr + B^tr і (AB)^tr = B^tr * A^tr.

[ред.] Спеціальні види матриць

У багатьох розділах математики з'являються матриці певної структури. Декілька важливих прикладів:

Одинична матриця
Квадратні матриці
Симетричні матриці — матриці, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі (від верхнього лівого до нижнього правого кута) є рівними, себто,

a_i,j=a_j,i.

Ермітові матриці (або самоспряжені) — матриці, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі є комплексно-спряженими один до одного, себто,

a_i,j=a^*_j,i,

де '*' означає комплексне спряження.

Матриці Тепліца:

a_i,j=a_i+1,j+1.

Стохастичні матриці — квадратні матриці, стовпчики яких є векторами ймовірності; вони застосовуються для означення Марківських ланцюгів.

[ред.] Матриці в абстрактній алгебрі

Якщо взяти кільце R, можемо розглядати множину M(m,n, R) усіх матриць m на n з елементами з R. Додавання та множення цих матриць може бути означене, як у випадку дійсних чи комплексних матриць. Множина M(n, R) усіх квадратних матриць n на n над кільцем R сама є кільцем, ізоморфним до кільця ендоморфізмів праового R-модуля Rⁿ.

Також, якщо елементи беруться з напівкільця S, додавання та множення матриць можна означити звичайним чином. Множина всіх квадратних матриць n×n над S сама є напівкільцем. Зважте на те, що алгоритми множення матриць, такі як алгоритм Штрассена, взагалі застосовні лише до матриць над кільцями і не працюють для матриць над напівкільцями, що не є кільцями.

Якщо R є комутативним кільцем, тоді M(n, R) є унітарною асоціативною алгеброю над R. Також має сенс означити детермінант квадратних матриць, застосовуючи формулу Лейбніца. Матриця має обернену тоді й лише тоді, коли її визначник як елемент R має обернений елемент в R.

Усі твердження цієї статті для дійсних та комплексних матриць справджуються і для матриць над довільним полем.

Матриці над кільцем поліномів є важливими у вивченні теорії регулювання.

[ред.] Історія

Вивчати матриці почали досить давно. Латинські квадрати та магічні квадрати були відомі ще в доісторичні часи.

Матриці мають тривалу історію застосування для розв'язування лінійних рівнянь. Ґотфрид Лейбніц, один із винахідників числення, розробив теорію визначників 1693 р. Крамер розвинув цю теорію, ввівши правило Крамера 1750 р. Карл Фридрих Ґаусс та Вільгельм Жордан розробили метод Ґаусса-Жордана знаходження оберненої матриці 1800 р.

Термін «матриця» уперше було запроваджено 1848 р. Дж. Дж. Сильвестром. Кейлі, Гамільтон, Ґрассман, Фробеніус, фон Нойман та інші видатні математики зробили свій внесок у теорію матриць.

[ред.] Дивіться також

Теорія матриць

[ред.] Посилання

Матричний калькулятор WIMS — розраховує визначник, ранг, обернену матрицю тощо в онлайні (англійською мовою)

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../%D0%BC/%D0%B0/%D1%82/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8F_%28%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%29.html

Категорії: Абстрактна алгебра | Теорія матриць | Лінійна алгебра