Matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Matríka je v matematiki pravokotna tabela števil ali v splošnem elementov kolobarskih algebrskih struktur. V tem članku so elementi matrike realna ali kompleksna števila, če ni drugače rečeno.

Matrike so uporabne za zapis podatkov, ki so odvisni od dveh kategorij in za proučevanje koeficientov sistemov lineranih enačb in linearnih transformacij

Za razvoj in uporabo matrik glej teorija matrik.

Vsebina 1 Definicije in zapisi 1.1 Primer 2 Seštevanje in množenje matrik 2.1 Vsota 2.2 Skalarno množenje 2.3 Množenje 3 Linearne transformacije, rangi in transponiranje 4 Kvadratne matrike in sorodne definicije 5 Posebni tipi matrik 6 Zgodovina 7 Nadaljnje branje 8 Zunanje povezave

[uredi] Definicije in zapisi

Vodoravne črte v matriki so vrstice, navpične pa stolpci. Matrika z m vrsticami in n stolpci se imenuje m×n matrika. m in n sta njeni razsežnosti.

Element matrike A, ki leži v i-ti vrstici in j-tem stolpcu se imenuje element i,j, oziroma (i,j)-ti element A. To zapišemo kot A[i,j] ali A_i,j, oziroma v C-jevskem zapisu, A[i][j].

Velikokrat zapišemo , da definiramo n × m matriko A, kjer se vsak element matrike A[i,j] imenuje a_ij za vse 0 ≤ i < n in 0 ≤ j < m.

[uredi] Primer

Matrika

je 4×3 matrika. Element A[2,3] ali a_2,3 je 7.

[uredi] Seštevanje in množenje matrik

[uredi] Vsota

Če sta dani dve m×n matriki A in B, lahko določimo njuno vsoto A + B kot m×n matriko, ki jo izračunamo s seštevanjem pripadajajočih elementov, oziroma (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Na primer

Drug zapis matrične vsote, ki se veliko manj uporablja, lahko najdemo pod direktna vsota (matrika).

[uredi] Skalarno množenje

Če sta dana matrika A in številor c, lahko določimo skalarno množenje cA z (cA)[i, j] = cA[i, j]. Na primer

Ti dve operaciji pretvorita množico M(m, n, R) vseh m×n matrik z realnimi elementi v realni vektorski prostor z razsežnostjo mn.

[uredi] Množenje

Glavni članek: matrično množenje

Množenje dveh matrik je izvedljivo le, če je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Če je A matrika razsežnosti m-krat-n, (m vrstic, n stolpcev) in je B matrika razsežnosti n-krat-p (n vrstic, p stolpcev), potem je njun produkt AB matrika razsežnosti m-krat-p (m vrstic, p stolpcev) definiran kot:

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] za vsak par i in j.

Primer

To množenje ima sledeče lastnosti:

• (AB)C = A(BC) za vse k-krat-m matrike A, m-krat-n matrike B in n-krat-p matrike C ("asociativnost").
• (A + B)C = AC + BC za vse m-krat-n matrike A in B in n-by-k matrike C ("distributivnost").
• C(A + B) = CA + CB za vse m-krat-n matrike A in B in k-krat-m matrike C ("distributivnost").

Pomembno se je zavedati, da komutativnost ne velja vedno. Splošno torej za matriki A in B in njun produkt velja AB ≠ BA.

Matrike so antikomutativne če velja AB = -BA.

[uredi] Linearne transformacije, rangi in transponiranje

Matrike lahko enostavno predstavljajo linearne preslikave, ker matrično množenje lepo ustreza kompozitumu preslikav, kot bomo videli.

Tu in v nadaljevanju označimo Rⁿ z množico "vrstic" oz. n-krat-1 matrikami. Za vsako linearno preslikavo f : Rⁿ -> R^m obstaja enolična m-krat-n matrika A tako da f(x) = Ax za vse x v Rⁿ.

Pravimo, da matrika A predstavlja linearno preslikavo f. Če k-krat-m matrika B predstavlja še eno linearno preslikavo g : R^m -> R^k, potem linearno preslikavo g o f predstavlja BA. To sledi iz zgoraj omenjene asociativnosti matričnega množenja.

Rang matrike A je razsežnost slike linearne preslikave, ki jo predstavlja A. Ta je enaka kot razsežnost prostora, ki jo tvorijo vrstice matrike A in enaka kot razsežnost, ki jo tvorijo stolpci matrike A.

Transponiranka m-krat-n matrike A je n-krat-m matrika A^tr (ponekod se zapiše tudi kot A^T ali ^tA), ki jo dobimo tako, da vrstice obrnemo v stolpce in stolpce v vrstice, npr. A^tr[i, j] = A[j, i] za vse indekse i in j. Če A definira linearno preslikavo z dvema bazama, potem matrika A^tr opisuje transponiranko linearne preslikave z upoštevanjem baz.

Velja tudi:

(A + B)^tr = A^tr + B^tr

(AB)^tr = B^tr * A^tr

[uredi] Kvadratne matrike in sorodne definicije

Kvadratna matrika je matrika, ki ima enako število stolpcev in vrstic. Množica vseh kvadratnih n-krat-n matrik skupaj z operacijo seštevanja in množenja je kolobar. Razen če je n = 1, ta kolobar ni komutativen.

M(n, R), kolobar realnih kvadratnih matrik je realna unitarna asociativna algebra. M(n, C), kolobar kompleksnih kvadratnih matrik je kompleksna asociativna algebra.

Enota matrike ali identična matrika I_n katere elementi na glavni diagonali imajo vrednost 1, vsi ostali pa 0 zadošča MI_n=M in I_nN=N za katerokoli m-krat-n matriko M in n-krat-k matriko N. Na primer, če je n = 3:

Identična matrika je identični element v obsegu kvadratnih matrik.

Obrnljivi elementi v tem obsegu se imenujejo obrnljive matrike ali nesingularne matrike. Matrika A reda n krat n je obrnljiva samo, če obstaja matrika B da velja: AB=I_n ( = BA). V tem primeru je B inverzna matrika matrike A, ki jo označimo z A⁻¹. Množica vseh obrnljivih matrik reda n-krat-n tvori grupo (natančneje Liejevo grupo) za množenje matrik, splošno linearno grupo.

Če je λ število in v neničelen vektor, da velja Av = λv, potem pravimo, da je v lastni vektor matrike A in λ lastna vrednost. Število λ je lastna vrednost matrike A natanko takrat, ko A−λI_n ni obrnljiva, kar se zgodi natanko takrat ko je p_A(λ) = 0. p_A(x) je karakteristični polinom matrike A. Karakteristični polinom matrike A je stopnje n, ki ima n kompleksnih rešitev. To je polinom stopnje n in ima torej n kompleksnih ničel (vključno z večkratnimi ničlami). V tem pogledu ima vsaka kvadratna matrika n kompleksnih lastnih vrednosti.

Determinanta kvadratne matrike A je produk njenih n lastnih vrednosti, lahko pa jo definiramo tudi po Leibnitzovi formuli. Obrnljive matrike so tiste matrike, katerih determinanta je neničelna.

Algoritem Gauss-Jordanove eliminacije je zelo pomemben: lahko ga uporabimo za računanje determinant, rangov in inverzov matrik in za računanje sistemov linearnih enačb.

Sled kvadratne matrike je vsota njenih diagonalnih vrednosti, ki je enaka vsoti njenih n lastnih vrednosti.

Vsaka ortogonalna matrika je kvadratna matrika.

[uredi] Posebni tipi matrik

V mnogih področjih matematike lahko najdemo matrike določenih struktur. Nekateri pomembni primeri so:

• Simetrične matrike so tiste, pri katerih so elementi, simetrični glede na glavno diagonalo (iz zgornje leve proti spodnji desni), enaki, torej zanje velja: a_i,j=a_j,i.
• Hermitske matrike (ali sebiadjungirane) so tiste, pri katerih so elementi, simetrični glede na diagonalo, sebi obenem tudi Konjugirano kompleksno število, torej zanje velja: a_i,j=a^*_j,i, kjer znak '*' označuje kompleksno konjugacijo.
• Toeplitzove matrike imajo skupne elemente na svojih diagonalah, torej velja: a_i,j=a_i+1,j+1.
• Stohastične matrike so kvadratne matrike, katerih stolpci so verjetnostni vektorji; uporablja se jih za definiranje Markovove verige.

Za obširnejši seznam glej seznam matrik.

[uredi] Zgodovina

Raziskovanje matrik je dokaj staro. Latinske kvadrate in magične kvadrate so raziskovali že v predzgodovinskih časih.

Matrike že dolgo uporabljamo pri reševanju linearnih enačb. Gottfried Wilhelm Leibniz, eden od utemeljiteljev diferencialnega računa, je razvil teorijo determinat leta 1693. Gabriel Cramer je teorijo razvil naprej in leta 1750 vpeljal Cramerjevo pravilo. Carl Friedrich Gauss in Wilhelm Jordan sta razvila Gauss-Jordanovo eliminacijsko metodo v začetku 19. stoletja.

Izraz »matrika« je prvi skoval leta 1848 James Joseph Sylvester. Cayley, Hamilton, Hermann Günther Grassmann, Frobenius in John von Neumann so veliko raziskovali matrike in njihovo teorijo.

[uredi] Nadaljnje branje

Zahtevnejši članek v zvezi z matrikami je teorija matrik.

[uredi] Zunanje povezave

• WIMS Matrix Calculator računanje determinant, ranga, inverza ipd. online.
• Linearna Algebra na e-študent wikiju