Dizey

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bir matrisin dizilişi. "m" satırları, "n" sütunları temsil eder

Matematikte dizey veya matris, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal eşitlikleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

[değiştir] Tanım

Dizey, çeşitli şekillerde tanımlanabilir. Örneğin en basit şekliyle bir dizey, sayı tablosudur. Ancak daha tutarlı ve soyut (genel) bir tanım yapılması gerekirse, dizeyi bir sayı dizisi kümesi olarak düşünebiliriz.

A i

, m terimli diziler olmak üzere bir dizey,

{A 1, A 2,..., A n}

sıralı kümesi olarak düşünülebilir.

Daha açık olarak dizeyleri, bileşenleri yöney (vektör) olan bir yöney (vektör) olarak düşünebiliriz.

B i

'ler, m boyutlu yöneyler olmak üzere $\vec A=\left(\vec B_1, \vec B_2, ...,\vec B_n \right)$ yöneyi bir dizey olarak tanımlanabilir.

Tensörlerle ilişkili olacak genellikte tanımlamak istersek, bir dizey biri sütun biri kolon yöney olmak üzere iki yöneyin doğrudan çarpımıdır.

v i

, n boyutlu bir yandeğişken (kovaryant) yöney ve

w j

de m boyutlu bir karşıdeğişken (kontravaryant) yöney olmak üzere bir dizeyin her bir bileşeni $a_i^j=v_i w^j$ olarak tanımlanır. Burada Einstein toplam uzlaşımı kullanılmıştır. Dizeyin tam n.m tane bileşeni olduğu görülür. Eğer sadece dizeylerden bahsediyorsak, $a_i^j$ yerine

a i j

gösterimi yeğlenir.

[değiştir] Cebirsel İşlemler

Matematikte çarpma ile çarpım farklı kavramlardır. Çarpma bir ikili işlemdir üstelik kapalıdır. Çarpım ise bir daha genel olarak bir göndermedir. Aynı şekilde toplama ile toplam karıştırılmamalıdır.

[değiştir] Dizey Toplaması

Ana madde: Dizey Toplaması

Dizeyler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.

c i j = a i j + b i j

Örnek:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

[değiştir] Sayılla (Skalerle) Çarpma

Bir dizey, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.

c i j = k a i j

Örnek:

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

[değiştir] Dizey Çarpımı

Ana madde: Dizey Çarpımı

Dizey çarpımının algoritması ilk öğenin i. satırı, ikinci öğenin j. sütunuyla bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.

A, mxn boyutlu B de nxs boyutlu dizeyler olmak üzere mxs boyutlu sonuç dizey

$A_{m \times n}B_{n \times s} = C_{m \times s}$

olarak tanımlanır ve her öğesi

$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$

ile bulunur.

[değiştir] Örnek

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Çarpmayı, ilk öğenin her satırını bir yöney ve ikinci öğenin her sütununu bir yöney olarak düşünüp ilk öğeyi bir sütun yöney ve ikinci öğeyi bir satır yöney olarak yöney iç çarpımına indirgeyebiliriz. Örneğin, $\vec{a}$ ve $\vec{b}$ yöneyleri n boyutlu olmak üzere,

$A_{m \times n}=\begin{bmatrix} \vec{a_1} \\ \cdots \\ \vec{a_m} \end{bmatrix}$ ve $B_{n \times s}=\begin{bmatrix} \vec{b_1} && \cdots && \vec{b_s} \end{bmatrix}$

şeklinde düşünüldüğünde çarpım,

$A B = \begin{bmatrix} \vec{a_1} \cdot \vec{b_1} && \cdots && \vec{a_1}\cdot\vec{b_s} \\ \vdots && \ddots && \ddots \\ \vec{a_m}\cdot\vec{b_s} && \cdots && \vec{a_m}\cdot\vec{b_s} \end{bmatrix}$

biçimini alır. Bu şekilde düşünmek kağıt üzerinde dizeyleri çarparken işe yarayabilir ve zaman kazandırır.

[değiştir] Örnek

$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -1 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$	$= \begin{bmatrix} (3,0) \\ (-1,2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (7,3) & (-1,6) \end{bmatrix}$
	$= \begin{bmatrix} (3,0)\cdot(7,3) && (3,0)\cdot(-1,6) \\ (-1,2)\cdot(7,3) && (-1,2)\cdot(-1,6) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 21 && -3 \\ -1 && 13 \end{bmatrix}$

[değiştir] Kronecker (Doğrudan) Toplam

Ana madde: Doğrudan Toplam

Bu toplamın sonucu bir dizeyler köşegenidir.

$C=\oplus_{i=1}^{k} A_i=\text{kosegen}\left( A_1,A_2,...,A_k \right)=\left[ \begin{array}{cccc} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_k \\ \end{array} \right]$

burada sonuç dizeyin boyutları, toplanan dizeylerin doğrudan boyutları toplamı kadardır.

[değiştir] Kronecker (Doğrudan) Çarpım

Ana madde: Doğrudan Çarpım

Bu çarpım ilk öğenin her bileşenini ikinci öğeyle doğrudan çarpmayla tanımlanır.

$A_{m \times n} \otimes B_{r \times s} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{array} \right]$

buradan,

$C_{(m r) \times (n s)}=\left[ \begin{array}{ccccc} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & \cdots \\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & \cdots & a_{12}b_{21} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \quad & \quad \\ a_{11}b_{11} & a_{21}b_{12} & \quad & \ddots & \quad \\ \vdots & \vdots & \quad & \quad & \ddots \\ \end{array} \right]$