Ряд Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ряд Те́йлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.

Нехай функція $f (x)$ нескінченно диференційована в деякому околі точки ${a}\,\!$ , тоді ряд

$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$

має назву ряда Тейлора функції $f$ у точці $a$ . У випадку, якщо $a = 0$ цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.

Якщо $f$ є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці $a$ області визначення $f$ сходиться до $f$ в деякому околі $a$ .

Зміст

1 Формула Тейлора
- 1.1 Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші і Пеано
2 Розклад Тейлора для деяких функцій
3 Література

[ред.] Формула Тейлора

Формула Тейлора використовується при доказі багатьох теорем у диференційному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поводження функції в околі деякої точки.

Теорема:

Нехай функція $f(x)\,\!$ має $n+1\,\!$ похідну в деякому околі точки $a\,\!$ , $U\left( a , \epsilon\ \right) \,\!$
Нехай $x\in U\left( a , \epsilon\ \right) \,\!$
Нехай $p\,\!$ — довільне позитивне число

тоді: $\exists$ точка $\xi\in (x,a)$ при $x < a$ або $\xi\in (a,x)$ при $x > a$ :

$f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)$

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

[ред.] Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші і Пеано

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1$

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1$

послабимо припущення:

Нехай функція $f(x)\,\!$ має $n-1\,\!$ похідних у деякому околі точки $a$
І $n\,\!$ похідних у самій точці ${a}\,\!$

тоді:

$R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] \,\!$

[ред.] Розклад Тейлора для деяких функцій

Нижче наведені розклади по формулі Тейлора деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.

Експонента і натуральний логарифм:

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$ для усіх

x

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}$ для $\left| x \right| < 1$

Геометричний ряд:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n$ для $\left| x \right| < 1$

Біноміальний розклад:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n$ для всех $\left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha$

Тригонометричні функції:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ для усіх

x

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ для усіх

x

$\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}$ для $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$ для $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ для $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ для $\left| x \right| < 1$

Гіперболічні функції:

$\operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ для усіх

x

$\operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}$ для усіх

x

$\operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$ для $\left|x\right| < \frac{\pi}{2}$

$\operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ для $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$ для $\left| x \right| < 1$

[ред.] Література

В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов "Математический Анализ" ч.1, изд. 3, ред. А.Н. Тихонов, изд.:Проспект 2004

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../%D1%80/%D1%8F/%D0%B4/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0_668c.html

Категорія: Математичний аналіз

Ряд Тейлора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Формула Тейлора

[ред.] Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші і Пеано

[ред.] Розклад Тейлора для деяких функцій

[ред.] Література

Views

Навігація

Участь

Пошук

Іншими мовами