New Immissions/Updates:
boundless - educate - edutalab - empatico - es-ebooks - es16 - fr16 - fsfiles - hesperian - solidaria - wikipediaforschools
- wikipediaforschoolses - wikipediaforschoolsfr - wikipediaforschoolspt - worldmap -

See also: Liber Liber - Libro Parlato - Liber Musica  - Manuzio -  Liber Liber ISO Files - Alphabetical Order - Multivolume ZIP Complete Archive - PDF Files - OGG Music Files -

PROJECT GUTENBERG HTML: Volume I - Volume II - Volume III - Volume IV - Volume V - Volume VI - Volume VII - Volume VIII - Volume IX

Ascolta ""Volevo solo fare un audiolibro"" su Spreaker.
CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
لکیری استحالہ - وکیپیڈیا

لکیری استحالہ

وکیپیڈیا سے

لکیری استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں جو لکیری آزمائیش پر پورا اترے۔ اگر استحالہ \ T(X) درج ذیل آزمائش پوری کرے (یہاں X اور Y ایک سمتیہ فضا کے ارکان (یعنی سمتیہ) ہیں، اور a کوئی بھی عدد میدان \ \mathbb{R} یا \mathbb{C} میں )

  • \ T(aX) = a T(X)
  • \ T(X+Y) =  T(X) + T(Y)

تو اسے لکیری استحالہ کہتے ہیں۔

فہرست

[ترمیم] میٹرکس ضرب

میٹرکس ضرب سے لکیری استحالہ بنتا ہے۔ اگر X سمتیہ فضا \mathbb{R}^n کا رکن ہو، اور A ایک \ m \times n میٹرکس، تو لکیری استحالہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

Y = A X

جہاں Y سمتیہ فضا \mathbb{R}^m میں ہو گا۔ مذید تفصیل کے لیے دیکھو میٹرکس تفاعل۔

[ترمیم] میٹرکس ضرب صورت

کسی سمتیہ فضا V میں سمتیہ v کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ v0,v1,...,vn − 1 کے حوالے سے منفرد صورت کو \mathbb{R}^n میں یوں لکھو: c=\left[\begin{matrix}  c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{n-1} \end{matrix}\right]
اب فرض کرو کہ ایک دوسری سمتیہ فضا U ہے، اور \ T:V \to U ایک لکیری استحالہ ہے، اور \ u=T(v)
اب سمتیہ فضا U میں سمتیہ u کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ u0,u1,...,um − 1 کے حوالے سے منفرد صورت کو \mathbb{R}^n میں یوں لکھو: d=\left[\begin{matrix}  d_0 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_{m-1} \end{matrix}\right]
ہم صورت c اور d میں رشتہ جاننا چاہتے ہیں۔
اب چونکہ \ T(v_i) سمتیہ فضا U میں ہیں، اسلئے انہیں U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: \begin{matrix} T(v_0) = a_{0,0} u_0 + a_{1,0} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} \\ T(v_1) = a_{0,1} u_0 + a_{1,1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} \\ \vdots \\ T(v_{n-1}) = a_{0,m-1} u_0 + a_{1,m-1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}  \end{matrix}
لکیری استحالہ \ u = T(v)
اب v کو سمتیہ فضا V کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھتے ہوئے \begin{matrix} \ u  = T(c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1})   \end{matrix}
اور لکیرے پن کا استعمال کرتے ہوئے ِ
\begin{matrix} u = c_0 T(v_0) + c_1 T(v_1) + \cdots + c_{n-1} T(v_{n-1})  \\ u = c_0 (a_{0,0} u_0 + a_{1,0} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) \\  + c_1 (a_{0,1} u_0 + a_{1,1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) \\ \vdots \\  + c_{n-1}(a_{0,m-1} u_0 + a_{1,m-1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1})  \end{matrix}
چونکہ u کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھا تھا \begin{matrix} u = d_0 u_0 + d_1 u_1 + \cdots + d_{m-1} u_{m-1} \end{matrix}
اس سے یہ نتیجہ اخذ ہوتا ہے کہ \left[\begin{matrix} d_{0}\\ d_{1}\\ \vdots \\ d_{m-1} \end{matrix} \right]  =  \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1}  & \cdots & a_{0,n-1} \\ a_{1,0} & a_{1,1}  & \cdots & a_{1,n-1} \\ \vdots \\ a_{m-1,0} & a_{m-1,1}  & \cdots & a_{m-1,n-1} \\ \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} c_{0}\\ c_{1}\\ \vdots \\ c_{n-1} \end{matrix} \right] اب اس \ m \times n میٹرکس کو ہم A کہتے ہوئے اوپر کی مساوات جو سمتیہ فضا U کے کسی سمتیہ u کی صورت d اور سمتیہ فضا V کے سمتیہ v کی صورت c کے درمیان رشتہ ایک میٹرکس ضرب کے طور بتاتی ہے، یوں لکھتے ہیں:

\ d = A c

غور کرو کہ میٹرکس A دونوں سمتیہ فضا (V اور U) میں انتخاب کردہ بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{v_i\} اور \ \{u_i\} پر منحصر ہے۔ میٹرکس A کی ہئیت پر غور کرو۔ میٹرکس A کا ہر ستون حاصل کرنے کے لیے، سمتیہ فضا V کے ایک بنیاد سمتیہ \ v_i کو T کے زریعہ U میں بھیجا جاتا ہے، اور \ T(v_i) کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{u_i\} کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنے سے جو عددی سر a.,. حاصل ہوتے ہیں، یہ میٹرکس کا ایک ستون بنتے ہیں۔

[ترمیم] مثال ۱

ایک لکیری استحالہ \ T:\mathbb{R}^2 \to {subspace}(\mathbb{R}^3) تصویر:Simtia_planes_3_2.png جو یوں ہے T\left( \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] \right) =  \left[\begin{matrix} x \\ y \\ -6x + 17 y \end{matrix}\right] اور جو سمتیہ فضا V=\mathbb{R}^2 سے \mathbb{R}^3 کی ذیلی سمتیہ فضا U میں بھیجتا ہے۔ اس ذیلی سمتیہ فضا کو تصویر میں نیلے پلین سے دکھایا گیا ہے۔ \mathbb{R}^2 میں بنیاد سمتیہ مجموعہ کے لیے ہم قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کا انتخاب کر لیتے ہیں، یعنی v_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] ,  v_1=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]
اور \mathbb{R}^3 کی اس ذیلی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -6 \end{matrix}\right] ,  u_1=\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 11 \end{matrix}\right]
۔ اب V کے بنیاد سمتیہ کو T کے زریعہ U میں بھیج کر U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھتے ہیں T(v0) = 1u0 + 0u1
T(v1) = − 1u0 + 1u1
جس سے ہم میٹرکس A پڑھ لیتے ہیں A =  \left[\begin{matrix} 1  & -1\\ 0  & 1 \end{matrix}\right] ,

[ترمیم] مثال ۲

درجہ اول کے کثیر رقمی کی فضا کو V کہو، اور درجہ دوم کے کثیر رقمی کو فضا U کہتے ہوئے، ایک لکیری استحالہ T: V \to U یہ ہے T(p1(x)) = xp1(x)
یہاں درجہ اول کے کثیر رقمی کو p1(x) لکھا ہے۔
فضا V میں بنیاد سمتیہ v0 = 1,v1 = x
اور فضا U میں بنیاد سمتیہ u0 = 1,u1 = x,u2 = x2
اب V کے بنیاد سمتیہ پر لکیری استحالہ T کے زریعے U میں لے جا کر، ان کو U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھ کر T(v0) = x = 0u0 + 1u1 + 0u2
T(v1) = x2 = 0u0 + 0u1 + 1u2
میٹرکس A پڑھ لو A =  \left[\begin{matrix} 0  & 0 \\ 1  & 0  \\ 0  & 1 \end{matrix}\right] ,

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

ایک سمتیہ فضا S پر لکیری استحالہ T:S \to S ہو۔ اس سمتیہ فضا میں ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{v_i\}کے لحاظ سے اس استحالہ کی صورت میٹرکس A ہو۔ اب اگر اسی فضا کا ایک اور بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{u_i\} ہو، اور اس مجموعہ کے حوالے سے استحالہ کی صورت میٹرکس B ہو، تو دونوں میٹرکس میں نسبت یوں لکھی جا سکتی ہے
\ B = P^{-1} A P
جہاں میٹرکس P مجموعہ \ \{u_i\} سے مجموعہ \ \{v_i\} لے جانی والی منتقلہ میٹرکس ہے۔ گویا A اور B مشابہ میٹرکس ہیں۔

[ترمیم] اور دیکھو

\ E=mc^2        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات 

Static Wikipedia (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu