لکیری استحالہ

وکیپیڈیا سے

لکیری استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں جو لکیری آزمائیش پر پورا اترے۔ اگر استحالہ $\ T(X)$ درج ذیل آزمائش پوری کرے (یہاں X اور Y ایک سمتیہ فضا کے ارکان (یعنی سمتیہ) ہیں، اور a کوئی بھی عدد میدان $\ \mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ میں )

$\ T(aX) = a T(X)$
$\ T(X+Y) = T(X) + T(Y)$

تو اسے لکیری استحالہ کہتے ہیں۔

فہرست

1 میٹرکس ضرب
2 میٹرکس ضرب صورت
- 2.1 مثال ۱
- 2.2 مثال ۲
3 مسلئہ اثباتی
4 اور دیکھو

[ترمیم] میٹرکس ضرب

میٹرکس ضرب سے لکیری استحالہ بنتا ہے۔ اگر X سمتیہ فضا $\mathbb{R}^n$ کا رکن ہو، اور A ایک $\ m \times n$ میٹرکس، تو لکیری استحالہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

Y = A X

جہاں Y سمتیہ فضا $\mathbb{R}^m$ میں ہو گا۔ مذید تفصیل کے لیے دیکھو میٹرکس تفاعل۔

[ترمیم] میٹرکس ضرب صورت

کسی سمتیہ فضا V میں سمتیہ v کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $v 0, v 1,..., v n - 1$ کے حوالے سے منفرد صورت کو $\mathbb{R}^n$ میں یوں لکھو: $c=\left[\begin{matrix} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{n-1} \end{matrix}\right]$
اب فرض کرو کہ ایک دوسری سمتیہ فضا U ہے، اور $\ T:V \to U$ ایک لکیری استحالہ ہے، اور $\ u=T(v)$
اب سمتیہ فضا U میں سمتیہ u کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $u 0, u 1,..., u m - 1$ کے حوالے سے منفرد صورت کو $\mathbb{R}^n$ میں یوں لکھو: $d=\left[\begin{matrix} d_0 \\ d_1 \\ \vdots \\ d_{m-1} \end{matrix}\right]$
ہم صورت c اور d میں رشتہ جاننا چاہتے ہیں۔
اب چونکہ $\ T(v_i)$ سمتیہ فضا U میں ہیں، اسلئے انہیں U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: $\begin{matrix} T(v_0) = a_{0,0} u_0 + a_{1,0} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} \\ T(v_1) = a_{0,1} u_0 + a_{1,1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} \\ \vdots \\ T(v_{n-1}) = a_{0,m-1} u_0 + a_{1,m-1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} \end{matrix}$
لکیری استحالہ $\ u = T(v)$
اب v کو سمتیہ فضا V کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھتے ہوئے $\begin{matrix} \ u = T(c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1}) \end{matrix}$
اور لکیرے پن کا استعمال کرتے ہوئے ِ
$\begin{matrix} u = c_0 T(v_0) + c_1 T(v_1) + \cdots + c_{n-1} T(v_{n-1}) \\ u = c_0 (a_{0,0} u_0 + a_{1,0} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) \\ + c_1 (a_{0,1} u_0 + a_{1,1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) \\ \vdots \\ + c_{n-1}(a_{0,m-1} u_0 + a_{1,m-1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) \end{matrix}$
چونکہ u کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھا تھا $\begin{matrix} u = d_0 u_0 + d_1 u_1 + \cdots + d_{m-1} u_{m-1} \end{matrix}$
اس سے یہ نتیجہ اخذ ہوتا ہے کہ $\left[\begin{matrix} d_{0}\\ d_{1}\\ \vdots \\ d_{m-1} \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1} \\ a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1} \\ \vdots \\ a_{m-1,0} & a_{m-1,1} & \cdots & a_{m-1,n-1} \\ \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} c_{0}\\ c_{1}\\ \vdots \\ c_{n-1} \end{matrix} \right]$ اب اس $\ m \times n$ میٹرکس کو ہم A کہتے ہوئے اوپر کی مساوات جو سمتیہ فضا U کے کسی سمتیہ u کی صورت d اور سمتیہ فضا V کے سمتیہ v کی صورت c کے درمیان رشتہ ایک میٹرکس ضرب کے طور بتاتی ہے، یوں لکھتے ہیں:

$\ d = A c$

غور کرو کہ میٹرکس A دونوں سمتیہ فضا (V اور U) میں انتخاب کردہ بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_i\}$ اور $\ \{u_i\}$ پر منحصر ہے۔ میٹرکس A کی ہئیت پر غور کرو۔ میٹرکس A کا ہر ستون حاصل کرنے کے لیے، سمتیہ فضا V کے ایک بنیاد سمتیہ $\ v_i$ کو T کے زریعہ U میں بھیجا جاتا ہے، اور $\ T(v_i)$ کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_i\}$ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنے سے جو عددی سر $a .,.$ حاصل ہوتے ہیں، یہ میٹرکس کا ایک ستون بنتے ہیں۔

[ترمیم] مثال ۱

ایک لکیری استحالہ $\ T:\mathbb{R}^2 \to {subspace}(\mathbb{R}^3)$ جو یوں ہے $T\left( \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right] \right) = \left[\begin{matrix} x \\ y \\ -6x + 17 y \end{matrix}\right]$ اور جو سمتیہ فضا $V=\mathbb{R}^2$ سے $\mathbb{R}^3$ کی ذیلی سمتیہ فضا U میں بھیجتا ہے۔ اس ذیلی سمتیہ فضا کو تصویر میں نیلے پلین سے دکھایا گیا ہے۔ $\mathbb{R}^2$ میں بنیاد سمتیہ مجموعہ کے لیے ہم قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کا انتخاب کر لیتے ہیں، یعنی $v_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right] , v_1=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]$
اور $\mathbb{R}^3$ کی اس ذیلی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ $u_0=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -6 \end{matrix}\right] , u_1=\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 11 \end{matrix}\right]$
۔ اب V کے بنیاد سمتیہ کو T کے زریعہ U میں بھیج کر U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھتے ہیں $T (v 0) = 1 u 0 + 0 u 1$
$T (v 1) = - 1 u 0 + 1 u 1$
جس سے ہم میٹرکس A پڑھ لیتے ہیں $A = \left[\begin{matrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{matrix}\right] ,$

[ترمیم] مثال ۲

درجہ اول کے کثیر رقمی کی فضا کو V کہو، اور درجہ دوم کے کثیر رقمی کو فضا U کہتے ہوئے، ایک لکیری استحالہ $T: V \to U$ یہ ہے $T (p 1 (x)) = x p 1 (x)$
یہاں درجہ اول کے کثیر رقمی کو $p 1 (x)$ لکھا ہے۔
فضا V میں بنیاد سمتیہ $v 0 = 1, v 1 = x$
اور فضا U میں بنیاد سمتیہ $u 0 = 1, u 1 = x, u 2 = x 2$
اب V کے بنیاد سمتیہ پر لکیری استحالہ T کے زریعے U میں لے جا کر، ان کو U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھ کر $T (v 0) = x = 0 u 0 + 1 u 1 + 0 u 2$
$T (v 1) = x 2 = 0 u 0 + 0 u 1 + 1 u 2$
میٹرکس A پڑھ لو $A = \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] ,$

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

ایک سمتیہ فضا S پر لکیری استحالہ $T:S \to S$ ہو۔ اس سمتیہ فضا میں ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_i\}$ کے لحاظ سے اس استحالہ کی صورت میٹرکس A ہو۔ اب اگر اسی فضا کا ایک اور بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_i\}$ ہو، اور اس مجموعہ کے حوالے سے استحالہ کی صورت میٹرکس B ہو، تو دونوں میٹرکس میں نسبت یوں لکھی جا سکتی ہے
$\ B = P^{-1} A P$
جہاں میٹرکس P مجموعہ $\ \{u_i\}$ سے مجموعہ $\ \{v_i\}$ لے جانی والی منتقلہ میٹرکس ہے۔ گویا A اور B مشابہ میٹرکس ہیں۔

[ترمیم] اور دیکھو

        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%84/%DA%A9/%DB%8C/%D9%84%DA%A9%DB%8C%D8%B1%DB%8C_%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%AD%D8%A7%D9%84%DB%81.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

لکیری استحالہ

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم] میٹرکس ضرب

[ترمیم] میٹرکس ضرب صورت

[ترمیم] مثال ۱

[ترمیم] مثال ۲

[ترمیم] مسلئہ اثباتی

[ترمیم] اور دیکھو

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں