Biến đổi tuyến tính

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một hàm giữa hai không gian vector mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vector. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính.

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng hình của không gian vector.

[sửa] Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên

Một cách chính thức, nếu V và W là các không gian vector trong cùng một trường nền, chúng ta nói rằng f : V → W là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vector x và y trong V và bất kỳ vô hướng a trong K, chúng ta có

$f(x+y)=f(x)+f(y) \,$ (tính kết hợp)

$f(ax)=af(x) \,$ (tính thuần nhất).

Điều này tương đương khi nói rằng f "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector x₁, ..., x_m và vô hướng a₁, ..., a_m, chúng ta có

$f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).$

Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vector trên các trường nền khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu V và W thuộc không gian trên trường K như xác định ở trên, chúng ta nói về K-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, liên hợp của một số phức là một R-ánh xạ tuyến tính C → C, nhưng nó không phải là C-tuyến tính.

[sửa] Các ví dụ

Nếu A là một m × n ma trận, thì A định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ Rⁿ đến R^m bằng việc chuyển một vector cột x ∈ Rⁿ tới một vector cột Ax ∈ R^m. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vector có kích thước hữu hạn xuất hiện theo cách này; xem thêm các mục sau.