乘法表

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在数学中，乘法表（香港稱之為乘數表）用于定义一个数系中的乘法运算。

[编辑] 在初等算术中

乘法表（如教授小学生乘法运算时所使用的那种）是一个表格，其各行和各列以要相乘的数开头，表格中部的单元格中的数则是该单元格所在的行、列上开头的数的乘积。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

举例来说，3 × 6 的结果18可以通过在表中查3和6开头的行列交叉处单元格的内容得到。

表中未列出关于零的运算，这是因为任何数乘以零都等于零。

各国使用的乘法表有可能不太一样。举例来说，有的国家的乘法表包含的范围是从1×1到10×10，有些是从2×1到9×9，还有些是从1×1到12×12。

以下这个布局, 是按照英文的写作习惯，由左到右, 由上至下。利用笛卡儿直角坐标系理论, 为乘法初学者介绍第一象限乘法方式。

Image:XYchart4.gif

根据XY 直角坐标所显示的第一象限，使乘法初学者很容易地根据X值Y值的交点而得出相应的相乘结果。有趣的是，XY 图的布局恰好严密吻合了笛卡儿积乘法定义。

[编辑] 习惯用法

乘法运算的传统的强记型的学习方式是基于对表中各列的记忆的，以如下的方式：

1 x 7 = 7 2 x 7 = 14 3 x 7 = 21 4 x 7 = 28 5 x 7=35 6 x 7 = 42 7 x 7 = 49 8 x 7 = 56 9 x 7 = 63

[编辑] 在中国的使用习惯和中国史料中的有关记载

在中国，用于基本算术教育的乘法表只包含了上表中从1x1到9x9的部分，所以通常被称作“九九表”，又稱九因歌。

九九表口诀何时开始无考。在中国古代文献中，九因歌最早见诸成书于北朝的《敦煌算书》。敦煌《九九術殘木簡》中也有九九乘法表。

宋洪迈著《容斋随笔》《俗语算数》条：“三三如九，三四十二，二八十六，四四十六，三九二十七，四九三十六，六六三十六，五八四十，五九四十五，七九六十三，八九七十二，九九八十一，皆俗语算数，然《淮南子》中有之。”，又说也见《左传》、《汉志》^[1]。

2002年中国考古学家在湖南一座距今二千多年前的战国时期的遗址内，发现最早的九九歌木简残片，上有四八三十二、五八四十、六八四十八等字样。这是迄今为中国发现的最早的九九歌实物。^[2]

为了减少需要记忆的内容和使形式更简明易用，根据乘数可交换的运算规则，去掉了表中重复的部分。这样表就变成了一个三角形：

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

中国的学龄前儿童在记忆以上经过简化的乘法表是通过口诀来记忆的，例如：“一二得二，二二得四，二三得六，二四得八，二五得十，二六十二，二七十四，二八十六，二九十八....”。对于象9x7这样的计算，孩子们都能条件反射地将较小的乘数调整到前面，并使用口诀“七九六十三”得到结果。由于任何数与1相乘都等于该数自身，所以通常也不用背诵乘数为1的行列，这样最终需要背诵的口诀只有36句。

九九表和乘法表不同之处在于乘数、被乘数只限单位数，最高到9，便于儿童背记；多位数的的乘法留归算术进位乘法解决，无需要背记。换言之九九表是乘法表的核心。

[编辑] 表中的模式

例如，与6相乘的运算呈现出以下模式：

 2 x 6 = 12
 4 x 6 = 24
 6 x 6 = 36
 8 x 6 = 48
 10 x 6 = 60

可归纳为：

 数 x 6 = 该数乘以10的一半 + 该数

该法则可方便地用于偶数，其实对于奇数也同样适用：

 1 x 6 = 05 +  1 =  6
 2 x 6 = 10 +  2 = 12
 3 x 6 = 15 +  3 = 18
 4 x 6 = 20 +  4 = 24
 5 x 6 = 25 +  5 = 30
 6 x 6 = 30 +  6 = 36
 7 x 6 = 35 +  7 = 42
 8 x 6 = 40 +  8 = 48
 9 x 6 = 45 +  9 = 54
10 x 6 = 50 + 10 = 60

[编辑] 在抽象代数中

乘法表亦可用于定义群、域、环、及其它抽象代数中的二元运算。在此类环境中这些乘法表被称为凯莱表，可以参看八元数中的例子。

[编辑] 外部链接

黑白或彩色的可打印的表格
学习乘法表及自我测试，并可在kwizNET学习系统中免费获得用于练习乘法运算的可打印的工作表
cut-the-knot网站提供的不同数系中的代数运算
cut-the-knot网站提供的用于不同数系的算盘
cut-the-knot网站提供的用于不同数系的日式算盘
cut-the-knot网站提供的用于不同数系的中国式算盘
学习乘法表的要诀
Actual XY Charts

[编辑] 参考文献

↑ 宋洪迈著《容斋随笔》续笔卷七《俗语算数》
↑ 湖南一座战国遗址发现两千多年前的乘法口诀表

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