乘积空间
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拓扑学和数学的相关领域中，乘积空间是指一族拓扑空间的卡积，并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。
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[编辑] 定义
令I为（可能无穷的）指标集并设Xi对于每个I中的i为一个拓扑空间。置X = Π Xi，也即集合Xi的卡积。对于每个I中的i，我们有一个标准投影 pi : X → Xi。X上的积拓扑定义为所有投影pi在该拓扑下连续的最疏拓扑（也就是开集最少的拓扑）。该乘积拓扑有时也称为Tychonoff拓扑。
很明显，X上的乘积拓扑可以表述为形为pi−1(U)的集合生成的拓扑，其中i属于I而U是Xi的一个开集。换句话说，集合{pi−1(U)}构成X上的拓扑的子基。X的子集是开的当且仅当它是(可能无穷多的)的有限个形为pi−1(U)的集合的交集的并集。pi−1(U)有时称为开柱，而它们的交集称为柱集。
我们可以用构成X的空间Xi的基来表述乘积拓扑的基。设对于每个i属于I，选取一个集合Yi或者是整空间Xi或者是该空间的一个基，并且满足Xi = Yi对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Yi的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间的一个基。这意味着有限多空间的乘积有一个由Xi的基元素的乘积组成的基。
如果指标集为有限（特别是，对于两个拓扑空间的乘积），则积拓扑有更简单的表述。这个情况下，每个Xi的拓扑的乘积构成X上的拓扑的一个基。一般来讲，Xi的拓扑的乘积构成一个称为X上的盒拓扑的基。一般情况下，盒拓扑比积拓扑更细，但是对于有限乘积，它们是相同的。
[编辑] 例子
从实直线R上的标准拓扑开始，定义n份R的乘积，就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑。
康托集同胚于可数个离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。
[编辑] 属性
乘积空间X加上标准投影，可以用如下的范性质来刻划：若Y是拓扑空间，并且对于每个I中的i，fi : Y → Xi是一个连续映射，则存在恰好一个连续映射f : Y → X满足对于每个I中的i如下交换图成立：
这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的积。从上述范性质可以得出映射f : Y → X连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下，检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射g : X→ Z是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用pi连续这一点。
除了连续，标准投影pi : X → Xi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真：若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间，则W不一定是X中的开集。（例如，W = R2 \ (0,1)2.）标准投影通常不是闭映射。
积拓扑有时称为点式收敛拓扑，因为：X上的一个序列 （或者[[网 (数学)|网）收敛当且仅当它所有到当且仅当所有Xi收敛。特别是，如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的实值函数，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。
积拓扑的一个重要定理就是Tychonoff定理：任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易看出，而其一般情况等价于选择公理。
[编辑] 和其它拓扑概念的联系
- 可分离性
- 紧致性
- 每个紧致空间的积是紧致的（Tychonoff定理）
- 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。
- 连通性
- 每个连通（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
- 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。
每个"局部看起来"一个标准投影F × U → U的空间称为纤维丛。
[编辑] 参看
- 盒拓扑
- 不交并 (拓扑)
- 商空间
- 子空间 (拓扑)
| 点集拓扑系列 (编辑) |
|---|
| 拓扑空间、同胚、子拓扑、积拓扑、商拓扑、序拓扑 |
| 邻域、内点、边界点、外点、極限點、孤点 |
| 基、準基、局部基、开集、闭集、开核、闭包 |
| 连通空间、道路连通空间、不可約空間 |
| 紧性：紧、可数紧、序列紧、聚点紧、局部紧 |
| 可数性：第一可數、第二可數、可分性、Lindelöf空間 |
| 分离性： T0 | T1 | T2 | T2½ | 完全T2 | T3 | T3½ | T4 | T5 |
| Тихонов定理、Urysohn引理、度量化定理 |
