边界 (拓扑学)
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拓扑学上，拓扑空间 X 的子集 S 的边界定义为该集合的闭包减去其内部。S 的边界中的元素称作 S 的边界点。集合 S 的边界写作：bd(S)、fr(S) 或 
。
另外还有两个常用的（等价的）对 S 的边界和 S 的边界点的定义方法。
- 定义 S 的边界为 S 的闭包和其补集的闭包的交集。
- 定义 p 属于 X，它是 S 的边界点，若所有 p 的邻域都包含至少一个点属于 S 且至少一个点不属于 S。然后定义 S 的边界为 S 的所有边界点的集合。
[编辑] 性质
- 集合的边界是闭集。
- p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
- 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
- 某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合式开集，当且仅当该集合与其边界不相交。
- 某集合的边界等于其补集的边界。
- 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
- 某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集。
[编辑] 举例
- 若 X = [0,5)，则
。 
- 在 R3 中，若 Ω=x2+y2 ≤ 1，则 ∂Ω = Ω；但在 R2 中，∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。
| 点集拓扑系列 (编辑) |
|---|
| 拓扑空间、同胚、子拓扑、积拓扑、商拓扑、序拓扑 |
| 邻域、内点、边界点、外点、極限點、孤点 |
| 基、準基、局部基、开集、闭集、开核、闭包 |
| 连通空间、道路连通空间、不可約空間 |
| 紧性：紧、可数紧、序列紧、聚点紧、局部紧 |
| 可数性：第一可數、第二可數、可分性、Lindelöf空間 |
| 分离性： T0 | T1 | T2 | T2½ | 完全T2 | T3 | T3½ | T4 | T5 |
| Тихонов定理、Urysohn引理、度量化定理 |
