Nombre π

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Naturals ℕ
Negatius
Enters ℤ
Racionals ℚ
Irracionals
Reals ℝ
Complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265...
e ≈ 2,7182818284...
Φ ≈ 1,6180339887...
i := $\sqrt{-1}$

Nombres amb propietats destacables

Primers $\mathbb{P}$ , Abundants, Amics, Compostos, Defectius, Perfectes, Sociables, Algebraics, Trascendents

Extensions dels
nombres complexos

Bicomplexos
Hipercomplexos
Quaternions $\mathbb{H}$
Octonions $\mathbb{O}$
Setenions
Super-reals
Hiper-reals
Sub-reals

Nombres Especials

Nominals
Ordinals {1r, 2n, ...} (d'ordre)
Cardinals $\{\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\}$
Infinit $\infty$
Nombres infinits
Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters
Constants matemàtiques
Llistat de nombres
Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, Armeni, Àtica (grega), Babilònica, Xinesa, Ciríl·lica, Egípcia, Etrusca, Grega, Hebrea, Índia, Jònica (grega), Japonesa, Jémer, Maia, Romana, Tailandesa

Numerals en base constant:

Binari (2)
Quinari (5)
Octal (8)
Decimal (10)
Duodecimal (12)
Hexadecimal (16)
Vigesimal (20)
Sexagesimal (60)

En matemàtiques, π és la constant d'Arquimedes, una constant que relaciona el diàmetre de la circumferència amb la longitud del seu perímetre.

P = d · π

El símbol π es pronuncia [pi] i és la setzena lletra de l'alfabet grec.

π és un nombre irracional, és a dir, la seva part fraccionària té un nombre de xifres infinit, i no es pot establir un patró que determini quina serà la següent a una determinada. Per calcular s'acostuma a agafar el seu valor simplificat: 3,1416.

El nombre π a més d'aparèixer en la fórmula de la longitud de la circumferencia, apareix a totes les equacions matemàtiques derivades d'aquesta: superfície i volum del cercle, de l'esfera... i també a nombroses equacions de la física.

Les xifres decimals del nombre pi són equiprobables. És a dir, es pot demostrar mitjançant la teoria de grans nombres que les xifres decimals del nombre pi surten amb la mateixa probabilitat.

[edita] Fórmules relacionades amb π

[edita] Geometria

Circumferència del cercle de radi r: C = 2 π r
Àrea del cercle de radi r: A = π r²
Àrea de l'el·lipse amb semieixos a i b: A = π ab
Volum de l'esfera de radi r: V = (4/3) π r³
Àrea de superfície d'una esfera de radi r: A = 4 π r²
Angles: 180 graus són equivalents a π radians

[edita] Anàlisi

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$ (Fórmula de Leibniz)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$ (producte de Wallis)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (Fórmula de Stirling)

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (Identitat d'Euler, també anomenada "La fórmula més important del món")

π té boniques representacions de fraccions contínues:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

(Podeu veure altres 12 representacions a [1] )

[edita] Teoria dels nombres

La probabilitat que dos nombres triats aleatòriament siguin coprimers és de 6/π².

La probabilitat que un enter triat aleatòriament no tingui arrel quadrada és de 6/π².

Una manera empírica de trobar el valor de pi: dibuixeu un quadrat de costat 'l' a la paret. Tireu un dard dins el quadrat tantes vegades com pugueu sense apuntar enlloc més que a dins del quadrat. Dibuixeu un cercle de diàmetre 'l' inscrit en el quadrat. Compteu 'nc' el nombre de vegades que el dard ha anat dins la circumferència, i 'nq' nombre de vegades que el dard ha anat dins del quadrat però fora de la circumferència. Per probabilitat i relacionant l'àrea dels dos polígons es pot deduir que π ≅ 4*nc/(nc+nq), i que és més exacte (o sigui, més decimals) com més vegades haguem tirat el dard. Aquesta prova també es pot fer sobre paper quadriculat comptant les interseccions com a punts on ha anat el dard.

En altres paraules: π/4 és la probabilitat que la suma dels quadrats de dos nombres aleatoris iguals o majors que 0, i menors o iguals a la unitat, sia menor o igual que 1.