Пи (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия

ВНИМАНИЕ: Тази статия се нуждае от частичен или цялостен превод. Ако имате познания по използвания език, не се колебайте! Благодарим Ви, че помагате на Уикипедия!

Малката буква пи

Анимация демострираща връзката между кръга и пи

Математическата константа π представлява отношението между периметъра на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и инженерните науки. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число) и Лудолфово число.

[редактиране] Числова стойност

В Евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между обиколката и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на една окръжност към лицето на квадрат със страна нейния радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sin(x)=0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cos(x)=0. Всички тези дефиниции са еквивалентни.

Числовата стойност на π, закръглена до 69-тия знак след десетичната запетая, е:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 7816...

Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са положени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли милиарди цифри с наличния софтуер.

Приблизителни стойности на Пи, изразени в обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).

Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на Пи. Пи, закръглено с точност до десетия знак, може да се запомни чрез изречението, в което всяка дума има съответстващия брой букви:

Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят!

 3  1  4   1   5      9       2     6     5     3    6

Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди, прецизност на Пи от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви сметки.

[редактиране] Особености

π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцедентността, π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице равно на лицето на даден кръг).

[редактиране] Формули касаещи π

[редактиране] Геометрия

$π$ е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.

Геометрична форма	Формула
Обиколка на окръжност с радиус r и диаметър d	$L = \pi d = 2 \pi r \,\!$
Лице на окръжност с радиус r	$S = \pi r^2 \,\!$
Лице на елипса с полуоси a и b	$S = \pi \frac{a b}{4}$
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!$
Площ на сфера с радиус r	$S = 4 \pi r^2 \,\!$
Обем на цилиндър с височина h и радиус r	$V = \pi r^2 h \,\!$
Обща площ на стените на цилиндър с височина h и радиус r	$S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
Обем на конус с височина h и радиус r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
Обща площ на стените на прав кръгов конус с височина h и радиус r	$S = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като $S = \int 2 \pi r dr$ .)

Също така, ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.

[редактиране] Анализ

Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и така наречените специални математически функции.

Формула на Виет, 1593 (доказателство):

$\frac{2}{\pi}= \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\ldots$
Формула на Лайбниц (доказателство):

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$
Представяне на Уолис (доказателство):

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} = \frac{\pi}{2}$
Алгоритъм на Бейли-Борвин-Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли)

$\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]$
Интегрална формула от анализа:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$
Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Риманова зета функция):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

и в заключение, $ζ(2 n)$ е рационално кратно на $π 2 n$ за цяло положително n.
Гама функция изчислена при стойност на аргумента 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$
Приближение на Стерлинг:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$
Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):

$\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$
Лице на 1/4 от единичната окръжност:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$
Следствие на теоремата за остатъка

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i ,$

където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока обратна на часовниковата стрелка.

[редактиране] Безкрайни дроби

π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известния от които е:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)

[редактиране] Теория на числата

Някои изводи от теорията на числата:

Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π².
Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π².
Средния брой начини по който едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа е π/4.
Произведението от (1-1/p²) за прости p, е 6/π².

$\prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2}$