Číselná struktura

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Číselná struktura je v matematice algebraická struktura jejímž nosičem je číselná množina. Na této množině pak jsou určitým způsobem definovány příslušné matematické relace a operace. Tvoří se od nejjednodušších k složitějším, jednodušší struktury jsou vnořeny do těch složitějších.

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \rightarrow \ldots$

Obsah

1 Konstrukce

[editovat] Konstrukce

Při konstrukci struktur je postup obvykle následující: nejprve je sestrojen nosič struktury (číselná množina), poté příslušné relace a nakonec je určen způsob jakým se do nové struktury zobrazí struktury jednodušší.

[editovat] Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat – o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.

Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně:

$(\forall x) x = x$
$(\forall x,y) x = y \Leftrightarrow y = x$
$(\forall x,y,z) x = y \and y = z \Rightarrow x = z$
$(\forall x \exists ! y) y = x'$
$(\forall x,y \exists ! z) z = x + y$
$(\forall x,y \exists ! z) z = x \cdot y$
$(\forall x,y)x = y \Leftrightarrow x' = y'$
$(\forall p,q,x,y) x = y \and p = q \Leftrightarrow x + p = y + q$
$(\forall p,q,x,y) x = y \and p = q \Leftrightarrow x \cdot p = y \cdot q$
$(\exists x \forall y)y' \not= x$
$(\forall x,y)x' = y' \Rightarrow x = y$
$(\forall x)x + 0 = x$
$(\forall x)x \cdot 0 = 0$
$(\forall x,y)x + y' = (x + y)'$
$(\forall x,y)x \cdot y' = (x \cdot y) + x$
Nechť $φ(x)$ je formule s právě jednou volnou proměnnou x. Pak $\phi(0) \and (\forall x)(\phi(x) \Rightarrow \phi(x')) \Rightarrow (\forall x)\phi(x)$ je axiom.

[editovat] Celá čísla

Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel.

Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel: $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$
Ekvivalence: $[x,y]\approx[u,v]\Leftrightarrow x + v = y + u$
Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\times\mathbb{N}/\approx$
Sčítání: $T [x, y] + T [u, v] = T [x + u, y + v]$
Násobení: $T[x,y] \cdot T[u,v] = T[xu+yv,xv+yu]$
Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T [x,0]$ , kde x je přirozené číslo
$T [x, y] = x - y$

[editovat] Racionální čísla

Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (proti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celých čísel.

Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel: $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0$
Ekvivalence: $\frac{x}{y}\approx\frac{u}{v}\Leftrightarrow xv = yu$
Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_0/\approx$
Sčítání: $T\frac{x}{y} + T\frac{u}{v} = T\frac{xv+yu}{yv}$
Násobení: $T\frac{x}{y} \cdot T\frac{u}{v} = T\frac{xu}{yv}$
Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T\frac{x}{1}$ , kde x je celé číslo

[editovat] Reálná čísla

Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.

[editovat] Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice $x 2 + 1 = 0$ a to tak, že $x = \sqrt{-1} = i$ .

Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel: $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
Ekvivalence: $[x,y] = [u,v] \Leftrightarrow x = u \and y = v$
Sčítání: $[x, y] + [u, v] = [x + u, y + v]$
Násobení: $[x,y] \cdot [u,v] = [xu-yv,xv+yu]$