Charakteristika náhodné veličiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky nám o náhodné veličině poskytují pouze základní a hrubou představu, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, není však dostatečně přehledné.

Obsah

1 Podle popisované vlastnosti
2 Podle způsobu vytvoření
- 2.1 Momentové charakteristiky
- 2.2 Kvantilové charakteristiky
3 Vícerozměrná náhodná veličina
4 Podívejte se také na

[editovat] Podle popisované vlastnosti

Podle popisované vlastnosti lze charakteristiky rozdělit na

[editovat] Charakteristiky polohy

Podrobnější informace naleznete v článku Míra polohynaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Charakteristiky polohy jsou určité hodnoty, které lze považovat za střed, kolem kterého náhodné veličiny kolísají.

Nejčastěji používanou charakteristikou polohy je střední hodnota. Často užívanými charakteristikami jsou také medián a modus.

[editovat] Charakteristiky variability

Charakteristiky variability určují velikost odchylek náhodné veličiny od nějaké charakteristiky polohy.

Nejpoužívanějšími charakteristikami variability jsou rozptyl, směrodatná odchylka, střední odchylka, popř. variační koeficient nebo mezikvartilové rozpětí.

[editovat] Charakteristiky šikmosti a špičatosti

Charakteristiky šikmosti a špičatosti charakterizují tvar křivky hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny.

Charakteristikou šikmosti je koeficient šikmosti. Charakteristikou špičatosti je koeficient špičatosti.

[editovat] Podle způsobu vytvoření

Charakteristiky lze také dělit podle způsobu jejich vytvoření na

[editovat] Momentové charakteristiky

Momentové charakteristiky jsou funkcemi všech hodnot, kterých náhodná veličiny může nabývat.

Rozlišujeme momenty obecné, centrální a normované.

[editovat] Kvantilové charakteristiky

Kvantilové charakteristiky jsou hodnoty $x P$ náhodné veličiny $X$ , pro které platí podmínka $F (x P) = P$ , kde $F$ je distribuční funkce a $P$ je definovaná hodnota pravděpodobnosti.

Mezi kvantilové charakteristiky patří kvantily, speciálně např. medián nebo modus.

[editovat] Vícerozměrná náhodná veličina

Charakteristiky vícerozměrné náhodné veličiny, tedy náhodného vektoru, můžeme rozdělit na marginální charakteristiky, podmíněné charakteristiky a charakteristiky, které poskytují informaci o vztahu mezi jednotlivými složkami náhodného vektoru.

[editovat] Marginální charakteristiky

Marginální charakteristiky poskytují informaci o vlastnostech marginálního rozdělení. Marginální charakteristiky jsou totožné s jednorozměrnými charakteristikami a platí pro ně stejné vztahy.

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami $X$ a $Y$ , pak pro veličinu $X$ lze určit marginální střední hodnotu a marginální rozptyl vztahy

$\operatorname{E}(X) = \sum_x x P_1(x)$

$D(X) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X)]}^2 P_1(x)$

Jsou-li složky $X, Y$ spojité, pak platí

$\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f_1(x)\mathrm{d}x$

$D(X) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X)]}^2 f_1(x)\mathrm{d}x$ ,

kde $f 1$ je marginální hustota pravděpodobnosti.

Obdobné vztahy získáme také pro veličinu $Y$ . Při určování ostatních marginálních charakteristik postupujeme podobně jako v případě jednorozměrných charakteristik.

[editovat] Podmíněné charakteristiky

Podmíněné charakteristiky popisují vlastnosti podmíněného rozdělení.

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor s diskrétními složkami $X$ a $Y$ , pak lze určit podmíněnou střední hodnotu a podmíněný rozptyl veličiny $X$ za podmínky, že $Y = y$ vztahy

$\operatorname{E}(X|y) = \sum_x x P(x|y)$

$D(X|y) = \sum_x {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 P(x|y)$

Jsou-li složky $X, Y$ spojité, pak platí

$\operatorname{E}(X|y) = \int_{-\infty}^\infty x f(x|y)\mathrm{d}x$

$D(X|y) = \int_{-\infty}^\infty {[x-\operatorname{E}(X|y)]}^2 f(x|y)\mathrm{d}x$

Obdobně jsou definovány také $E (Y | x)$ a $D (Y | x)$ .

[editovat] Charakteristiky poskytující informaci o závislosti mezi veličinami

Podrobnější informace naleznete v článku Korelacenaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Míru statistické závislosti mezi proměnnými určuje korelace. Při větší (statistické) závislosti proměnných je větší hodnota jejich korelace.

[editovat] Kovariance

Kovariance je střední hodnota součinu odchylek obou náhodných veličin X,Y od jejich středních hodnot.

Máme-li dvourozměrný náhodný vektor, jehož složkami jsou náhodné veličiny $X, Y$ , pak vztah mezi těmito veličinami lze vyjádřit pomocí kovariance $C (X, Y)$ , která je definována jako

$C(X,Y) = \operatorname{E}\left\{[X-\operatorname{E}(X)][Y-\operatorname{E}(Y)]\right\} = \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)$

Kovariance může nabývat hodnot z intervalu $(-\infty,\infty)$ . Kovariance poskytuje informaci o intenzitě vztahu mezi dvěma veličinami.

[editovat] Koeficient korelace

Při výpočtech je však místo kovariance výhodnější používat koeficient korelace $ρ(X, Y)$ definovaný vztahem

$\rho(X,Y) = \frac{C(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ ,

kde $σ(X)$ a $σ(Y)$ jsou směrodatné odchylky veličin $X, Y$ .

Koeficient korelace nabývá hodnot z intervalu $\langle -1,1\rangle$ . Pro $ρ = + 1$ je mezi $X, Y$ přímá lineární závislost. Pro $ρ = - 1$ je mezi $X, Y$ nepřímá lineární závislost. Pro $ρ = 0$ jsou veličiny $X, Y$ lineárně nezávislé, a říkáme o nich, že jsou nekorelované. Nulová hodnota koeficientu korelace tedy neznamená obecnou nezávislost obou veličin $X$ a $Y$ , ale pouze nezávislost lineární.

[editovat] Kovarianční matice

K popisu $n$ -rozměrného náhodného vektoru používáme tzv. kovarianční matici

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} D(X_1) & C(X_1,X_2) & \cdots & C(X_1,X_n) \\ C(X_2,X_1) & D(X_2) & \cdots & C(X_2,X_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C(X_n,X_1) & C(X_n,X_2) & \cdots & D(X_n) \end{pmatrix}$

kde na hlavní diagonále jsou rozptyly jednotlivých veličin $X i$ , tzn. $D (X i)$ , a pro $i\neq j$ jsou $C (X i, X j)$ kovariance veličin $X i$ a $X j$ .

Kovarianční matice je symetrická.

[editovat] Korelační matice

Kromě kovarianční matice lze pro $n$ -rozměrnou veličinu vytvořit také korelační matici $\mathbf{\rho}$ , která má na hlavní diagonále jedničky, tzn. $ρ i i = 1$ , a mimo hlavní diagonálu koeficienty korelace mezi veličinami $X i$ a $X j$ , tedy $ρ i j = ρ(X i, X j)$ .

Korelační matice je symetrická.

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../c/h/a/Charakteristika_n%C3%A1hodn%C3%A9_veli%C4%8Diny.html“

Kategorie: Náhodná rozdělení