Hyperbola

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o rovinné křivce. O literárním pojmu pojednává článek Hyperbola (literatura).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce $y = 1 / x$ v kartézské soustavě souřadnic.

Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Obsah

1 Matematická vyjádření
- 1.1 Kartézský souřadnicový systém
- 1.2 Polární souřadnicový systém
2 Podívejte se také
3 Externí odkazy

[editovat] Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

$\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!$

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek $F 1$ a $F 2$ konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

[editovat] Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis hyperboly:

Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému

S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F₁, F₂ - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o₁ - hlavní osa hyperboly
o₂ - vedlejší osa hyperboly
p₁, p₂ - asymptoty hyperboly
$|AS| = |SB| = a \,\!$ - délka hlavní polosy
$|CS| = |SD| = b \,\!$ - délka vedlejší polosy
$|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\!$ excentricita
$|AB| = 2a \,\!$ - délka hlavní osy
$|CD| = 2b \,\!$ - délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole

[editovat] Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění

Hlavní osa $o 1$ hyperboly rovnoběžná s osou $x$

Středová rovnice:

${(x - m)^2\over (a^2)} - {(y - n)^2\over (b^2)} = 1 \,\!$

Obecná rovnice:

$Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!$

Rovnice asymptot:

$y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!$

Rovnice tečny v bodě $T [x 0, y 0]$ :

${(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!$

Hlavní osa $o 1$ hyperboly rovnoběžná s osou $y$

Středová rovnice:

${(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!$

Obecná rovnice:

$Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!$

Rovnice asymptot:

$y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!$

Rovnice tečny v bodě $T [x 0, y 0]$ :

${(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!$

Asymptoty $p 1, p 2$ rovnoběžné s osami $x$ a $y$

Středová rovnice:

$(x - m)(y - n) = c \,\!$

$a = b = sqrt{2|c|} \,\!$

Obecná rovnice:

$xy + Ax + By + C = 0 \,\!$

Rovnice asymptot:

$x = m, y = n \,\!$

[editovat] Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

$2x^2 + 4x - y^2 + 3y + {1\over 4} = 0 \,\!$

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.

$2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4} = -{1\over 4} \,\!$

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

$2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4} = -{1\over 4} \,\!$

$2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!$

${(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!$

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa $o 1$ je rovnoběžná s osou $x$ .
$S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!$ , $a = \sqrt{2} \,\!$ , $b = 2 \,\!$ , $e = \sqrt{6} \,\!$ , $p_1, p_2: y = \pm\sqrt{2} + {2\sqrt{2} + 3 \over 2} \,\!$

[editovat] Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant $D$ je: