Odhad (statistika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Parametry statistického souboru jsou obvykle neznámé. Jejich hodnoty se snažíme určit pomocí tzv. odhadů.

Máme-li náhodný výběr $X 1, X 2,..., X n$ z určitého rozdělení, které závisí na neznámém parametru $θ$ , pak parametr $θ$ může nabývat pouze určitých hodnot z tzv. parametrického prostoru $Ω$ . Prostřednictvím teorie odhadu se snažíme vytvořit statistiku $T (X 1, X 2,..., X n)$ , jejíž rozdělení pravděpodobnosti se nejvíce blíží danému parametru $\theta\in\Omega$ .

Odhady, v nichž jde o nalezení určitého parametru, označujeme jako parametrické. Existují také neparametrické odhady, při nichž není požadována parametrická specifikace typu pravděpodobnostního rozdělení.

Obsah

1 Bodový odhad
- 1.1 Metoda maximální věrohodnosti
- 1.2 Přesnost odhadu
2 Intervalový odhad
- 2.1 Určení intervalu spolehlivosti
3 Podívejte se také na

[editovat] Bodový odhad

Bodový odhad spočívá v nahrazení neznámé hodnoty parametru základního souboru nebo jeho funkce hodnotou výběrové charakteristiky. Místo pojmu bodový odhad se také říká estimátor.

Konzistentním (nesporným) bodovým odhadem parametru $θ$ základního souboru nazýváme takovou statistiku $T n$ , která pro dostatečně velké hodnoty indexu $n$ splňuje podmínku

$P(|T_n-\theta|\leq\varepsilon)>1-\eta$

pro libovolná $\varepsilon>0, \eta>0$ .

Jako nestranný (nevychýlený) bodový odhad parametru $θ$ základního souboru nazýváme statistiku $T n$ , pro jejíž střední hodnotu platí $\operatorname{E}(T_n)=\theta$ . V opačném případě hovoříme o odhadu zkresleném (vychýleném). Rozdíl $b(\theta)=\operatorname{E}(T_n)-\theta$ se nazývá vychýlením odhadu statistiky $T n$ . Pokud se s rostoucím rozsahem $n$ náhodného výběru zkreslení zmenšuje, pak říkáme, že daná statistika je asymptoticky nestranným odhadem parametru $θ$ .

Sledujeme-li u některých statistik, které jsou nestranným odhadem parametru $θ$ , jak se jejich hodnoty soustřeďují v blízkosti hodnoty $θ$ , pak za lepší považujeme takovou statistiku, která má menší rozptyl $D (T)$ .

[editovat] Metoda maximální věrohodnosti

Pravděpodobně nejpoužívanější metodou určování bodových odhadů je metoda maximální věrohodnosti.

Tato metoda používá k nalezení nejlepšího nestranného odhadu tzv. věrohodnostní funkci $L (x 1, x 2,..., x n,θ)$ , kde $x 1, x 2,..., x n$ jsou pozorování náhodné veličiny a $θ$ je parametr rozdělení. Nejlepší odhad pak získáme pro takovou hodnotu $\theta^\prime$ , pro kterou dosahuje věrohodnostní funkce svého maxima.

[editovat] Přesnost odhadu

Bodové odhady $\hat{\mu}, \hat{\sigma}$ se od skutečných hodnot $μ,σ$ základního souboru odchylují. Přesnost bodového odhadu můžeme vyjádřit tak, že výsledek bodového odhadu doplníme uvedením určité velikosti této odchylky. Běžně používanou mírou je směrodatná chyba $\sqrt{\operatorname{E}\left[{(X-\theta)}^2\right]}$ . Jinou možností je použití intervalového odhadu.

[editovat] Intervalový odhad

Bodový odhad neurčuje odhadovaný parametr dostatečně, neboť v sobě neobsahuje informaci o tom, nakolik se odhad od skutečné hodnoty parametru odchyluje. Pomocí intervalového odhadu vymezujeme pro parametr interval, v můžeme hodnotu tohoto parametru se zvolenou pravděpodobností očekávat.

Interval mezi hodnotami $T 1$ a $T 2$ nazveme $100(1 - α)%$ intervalem spolehlivosti (konfidenčním intervalem) parametru $θ$ , pokud platí

P (T 1 < θ < T 2) = 1 - α

Číslo $1 - α$ pro $0 < α < 1$ je tzv. koeficient spolehlivosti (konfidenční koeficient). Koeficient spolehlivosti $1 - α$ obvykle volíme s hodnotami 0.95 nebo 0.99, což zajišťuje vysokou pravděpodobnost, že interval $(T 1, T 2)$ obsahuje hodnotu $θ$ .

[editovat] Určení intervalu spolehlivosti

K určení intervalu spolehlivosti můžeme vyjít ze statistiky $T$ , která je vhodným bodovým odhadem parametru $θ$ . Najdeme funkci $V$ této statistiky, která je monotónní a závislá na $θ$ , a jejíž rozdělení na $θ$ nezávisí a je snadné určit kvantily tohoto rozdělení. Poté určíme hodnoty $t 1$ a $t 2$ takové, že z rovnice $P (t 1 < V < t 2) = 1 - α$ přejdeme úpravami na tvar $P (t 1 < θ < t 2) = 1 - α$ .