Uzávěr množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Uzávěr množiny (angl. closure) je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr $M$ značíme většinou $\overline{M}$ , popř. $cl M$ .

Obsah

1 Definice
2 Vnitřní a vnější body
3 Vlastnosti uzávěru
4 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru $X$ , které obsahují $M$ jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny $M$ , značíme $\overline{M}$ .

$\overline{M} = \bigcap \{ U \subseteq X: U$ je uzavřená $\land M \subseteq U\}$

Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny $M$ jako množinu $\overline{M}$ všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí $U$ má neprázdný průnik s $M$ .

$\overline{M} = \{ x \in X: \forall U(x)\quad U(x) \cap M \neq \emptyset\}$

[editovat] Vnitřní a vnější body

Uzávěr množiny $\mathbf{A} \subset \mathbf{M}$ metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako $\mathbf{M} \backslash \mathrm{int}(\mathbf{M} \backslash \mathrm{A})$ , kde $\mathrm{int} \mathbf{X}$ označuje vnitřek množiny $\mathbf{X}$ .

Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod $a \in \mathbf{X}$ označíme jako vnitřní bod množiny $\mathbf{X} \subseteq \mathbf{M}$ , pokud existuje takové $r > 0$ , že pro množinu $\mathbf{B}(a,r)= \{x \in \mathbf{M}:\rho(a,x)<r\}$ platí $\mathbf{B}(a,r) \subset \mathbf{X}$ .

Pokud platí $\mathbf{X} = \mathrm{int} \mathbf{X}$ , pak se množina $\mathbf{X}$ nazývá otevřená (v metrice <math<\rho</math>).

Pro množiny $\mathbf{A} \subset \mathbf{M}, \mathbf{B} \subset \mathbf{M}$ metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ platí vztahy

$\mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathbf{A}$
$\mathrm{int} \, \mathrm{int} \mathbf{A} = \mathrm{int} \mathbf{A}$
$\mathrm{int} (\mathbf{A} \cap \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cap \mathbf{B}$
$\mathrm{int} (\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) \subset \mathbf{A} \cup \mathbf{B}$
pokud $\mathbf{A} \subset \mathbf{B}$ , pak platí také $\mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathrm{int} \mathbf{B}$
každá otevřená podmnožina množiny $\mathbf{A}$ je podmnožinou $\mathrm{int} \mathbf{A}$
množinu $\mathrm{int} \mathbf{A}$ získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny $\mathbf{A}$ .

Je-li $\mathbf{A} \subset \mathbf{M}$ částí metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ , pak vnitřek množiny $\mathbf{M} \backslash \mathbf{A}$ nazveme vnějškem množiny $\mathbf{A}$ . Body nacházející se ve vnějšku $\mathbf{A}$ nazýváme vnějšími body množiny $\mathbf{A}$ .

Pokud existuje takové okolí $\mathbf{U}$ bodu $a \in \mathbf{A}$ , že $\mathbf{U} \cap \mathbf{A} = \{a\}$ , pak bod a nazýváme izolovaným bodem.

Jestliže každé okolí bodu $x \in \mathbf{M}$ obsahuje prvek množiny $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{M}$ různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny $\mathbf{A}$ .

Bod uzávěru je hromadným bodem množiny $\mathbf{A}$ (pokud se nejedná o izolovaný bod).

[editovat] Vlastnosti uzávěru

Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. $\overline \mathbf{M} = \mathbf{M}$ .

Uzávěr prázdné množiny je prázdná množina.

Uzávěr celého $X$ je $X$ , tzn. $\overline X = X$ .
Pro platí
- $\mathbf{A} \subseteq \overline \mathbf{A}$
- $\overline \overline \mathbf{A} = \overline \mathbf{A}$
- $\overline {(\mathbf{A} \cap \mathbf{B})} = \overline \mathbf{A} \cap \overline \mathbf{B}$
- $\overline {(\mathbf{A} \cup \mathbf{B})} = \overline \mathbf{A} \cup \overline \mathbf{B}$
- pokud $\mathbf{A} \subset \mathbf{B}$ , pak $\overline \mathbf{A} \subset \overline \mathbf{B}$
- je-li $\mathbf{A}$ je podmnožinou uzavřené množiny $\mathbf{B}$ , pak $\overline \mathbf{A} \subset \mathbf{B}$