闭包

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数学上，集合 S 的闭包包含了所有“靠近 S”的点。 S 的闭包中的点称为 S 的闭包点。闭包的概念和内部的概念对偶。

[编辑] 定义

[编辑] 闭包点

对欧几里德空间的子集 S，若所有以 x 为中心的开球都包含 S 的点（这个点也可以是 x），x 是 S 的闭包点。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的闭包点，若对所有 r > 0，存在 y 属于 S，使得距离 d(x, y) < r（同样的，可以是 x = y）。另一种说法可以是，x 是 S 的闭包点，若距离 d(x, S) := inf{d(x, s) : s 属于 S} = 0（这里 inf 表示下确界）。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的闭包点，若所有 x 邻域都包含 S 的点。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

[编辑] 极限点

闭包点的定义非常接近极限点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中，点 x 的邻域必须包含和 x 不同的集合的点。

因此，所有极限点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是孤点。也就是说，点 x 是孤点，若它是 S 的元素，且存在 x 的邻域，该邻域中除了 x 没有其他的点属于 S。

对给定的集合 S 和点 x，x 是 S 的闭包点，当且仅当 x 属于 S，或 x 是 S 的极限点。

[编辑] 性質

集合 S 的闭包是所有 S 的闭包点组成的集合。S 的闭包写作 cl(S)，Cl(S) 或 S⁻。集合的闭包具有如下性质：

cl(S) 是 S 的闭父集。
cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集。
cl(S) 是包含 S 的最小的闭集。
集合 S 是闭集，当且仅当 S = cl(S)。
若 S 是 T 的子集，则 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
若 A 是闭集，则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S)。
集合的交集的闭包是集合的闭包的交集的子集。
有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况。无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集，但前者一定是后者的父集。

上述第二或第三条性质可作为拓扑闭包的定义。

在第一可数空间（如度量空间）中，cl(S) 是所有点的收敛序列的所有极限。

注意，若将“闭包”、“交集”、“包含”、“最小”、“闭”等词汇相应替换成“内部”、“并集”、“包含于”、“最大”、“开”，上述性质仍然成立。更多信息请参看下面的“闭包算子”。

若 $A$ 为包含 $S$ 的 $X$ 的子空间，则 $S$ 在 $A$ 中计算得到的闭包等于 $A$ 和 $S$ 在 $X$ 中计算得到的闭包（ $Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)$ ）的交集。特别的， $S$ 在 $A$ 中是稠密的，当且仅当 $A$ 是 $C l X (S)$ 的子集。

[编辑] 举例

在任意空间，空集的闭包是空集。
对任意空间 X，cl(X) = X。
若 X 为实数的欧几里德空间 R，则 cl((0, 1)) = [0, 1]。
若 X 为实数的欧几里德空间 R，则有理数集合 Q 的闭包是全空间 R。也就是，Q 在 R 中是稠密的。
若 X 为複平面 C = R²，则 cl({z 属于 C : |z| > 1}) = {z 属于 C : |z| ≥ 1}。
若 S 为欧几里德空间的有限子集，则 cl(S) = S。（在一般拓扑空间，这个性质和T₁ 公理等价。）

在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。

若 X = R，且 R 有下限拓扑，则 cl((0, 1)) = [0, 1]。
若考虑 R 中所有集合都是开（闭）集的拓扑，则 cl((0, 1)) = (0, 1)。
若考虑 R 中只有空集和 R 自身是开（闭）集的拓扑，则 cl((0, 1)) = R。

上述示例中集合的闭包取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。

在任意离散空间中，由于所有集合都是开（闭）集，所以所有集合都等于其闭包。
在任意非离散空间 X 中，由于只有空集和 X 自身是开（闭）集，所以空集的闭包是空集，对 X 中的非空集 A，cl(A) = X。也就是说，所有非离散空间中的非空集都是稠密的。

集合的闭包也取决于背景空间。例如：若 X 是有理数集合，具有从欧几里德空间 R 中得到的子空间拓扑，且 S = {q 属于 Q : q² > 2}，则 S 是 Q 中的闭集，且 S 在 Q 中的闭包是 S。相应的，S 在欧几里德空间 R 中的闭包是所有大于等于 $\sqrt2$ 的实数组成的集合。

[编辑] 庫拉托夫斯基閉包公理

庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓樸結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

拓樸空間 $(X,\operatorname{cl})$ 是集 $X$ 及作用在 $X$ 的冪集上的閉包算子

$\operatorname{cl}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$ 。

閉包算子需符合以下條件：

$A \subseteq \operatorname{cl}(A) \!$
$\operatorname{cl}(\operatorname{cl}(A)) = \operatorname{cl}(A) \!$ (等冪性)
$\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B) \!$
$\operatorname{cl}(\varnothing) = \varnothing \!$