Varieta (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice je varieta abstraktní prostor, který je lokálně podobný obecně n-rozměrnému Euklidovskému prostoru, globálně však může mít odlišnou topologii, a může být navíc lokálně zakřivený.

Příkladem jednorozměrné variety může být například kružnice - lokálně je podobná jednorozměrnému Euklidovskému prostoru - přímce, ale její topologie je jiná. Kružnici jako varietu označujeme jako $\mathbb S^1$ . Obdobně např. povrch koule ( $\mathbb S^2$ ) nebo povrch toru ( $\mathbb T^2$ ) jsou příklady dvojrozměrných variet.

Varieta se definuje přes tzv. mapy - tedy přes lokální zobrazení části variety do Euklidovského prostoru. Vlastnosti, které jsou dobře definovány v tomto Euklidovském prostoru (jako např. blízkost bodů, dodatečně vzdálenosti, úhly, apod.), se potom prostřednictvím zobrazení přenášejí na varietu, čímž se na ní definují. Úplný soubor map pokrývající celou varietu nazýváme atlas. Mají-li dvě mapy neprázdný průnik na varietě, příslušné vlastnosti definované prostřednictvím zobrazení těchto map na těchto průnicích musí být stejné na obou mapách.

Na varietách často zavádíme dodatečné struktury, které prostá varieta nutně neobsahuje. Příkladem jsou např. diferencovatelné variety na nichž můžeme používat integrální počet, Riemannovské variety, na nichž jsou definovány vzdálenosti, úhly, křivost, apod., nebo pseudo-Riemannovské variety, které modelují časoprostor v teorii relativity.

[editovat] Algebraická varieta

Algebraickou varietou se nazývá množina všech řešení soustavy rovnic ${x 1, x 2,..., x n}$ soustavy polynomiálních rovnic

P 1 (x 1, x 2,.... x n) = 0

P 2 (x 1, x 2,.... x n) = 0

…

P k (x 1, x 2,.... x n) = 0

Studium algebraických variet je důležitou součástí algebraické geometrie.

[editovat] Topologická varieta

Jako topologická varieta dimenze $n$ se označuje Hausdorffův prostor se spočetnou bází, ve kterém ke každému bodu $x$ existuje okolí homeomorfní s otevřenou množinou v $\mathbb{R}^n$ . Dimenze topologické variety je určena jednoznačně. Každá topologická varieta je lokálně kompaktní.

Mezi topologické variety patří např. otevřené množiny v $\mathbb{R}^n$ . Mezi topologické variety nepatří např. úplná kuželová plocha nebo uzavřená koule.

[editovat] Diferencovatelná varieta

Diferencovatelná varieta třídy $C k$ je topologická varieta $X$ společně s množinou funkcí $f_i:\mathbf{V}_i \to \mathbb{R}$ , kde $\mathbf{V}\subset\mathbb{R}^n$ , přičemž funkce $f i$ mají spojité parciální derivace až do řádu $k$ včetně a $\mathbf{V}_i$ tvoří otevřené pokrytí $X$ .

Příkladem diferencovatelné variety je např. kartézský prostor $\mathbb{R}^n$ .

Je-li $M$ varieta a $N\subset M$ otevřená množina, potom $N$ je topologickým podprostorem prostoru $M$ a jedná se tedy také o diferencovatelnou varietu. Varieta $N$ tvoří tzv. otevřenou podvarietu variety $M$ .