Hexadezimalsystem

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Im Hexadezimalsystem (griech. hexa „sechs“ und lat. decem „zehn“, besser Sedezimalsystem von lat. sedecim „sechzehn“, auch als hexdekadisch bezeichnet) werden Zahlen in einem Stellenwertsystem mit der Basis 16 (also einem 16er-System) dargestellt.

In der Datenverarbeitung wird das Hexadezimalsystem verwendet, um die von der Maschine im Dualsystem verarbeiteten Zahlen, oder sonstige binäre Muster, in einer für den Menschen übersichtlicheren Weise zu notieren (Die Hexadezimalzahlen sind einfach kürzer als die dazugehörigen Dualzahlen.) Das Hexadezimalsystem eignet sich hierfür besser als das Dezimalsystem, weil man es auch im Kopf leicht in das Dualsystem umwandeln kann, und weil die technisch gebräuchlichen Datenworte aus Oktetten bestehen, deren Wertebereich (00000000 bis 11111111) genau dem einer zweistelligen Hexadezimalzahl (00 bis FF) entspricht.

Wir sind es gewöhnt, im Dezimalsystem („10er-System“) zu rechnen. Das bedeutet, unser „arabisches“ (eigentlich indisches) Zahlensystem verwendet 10 Symbole zur Notation der Ziffern (0 bis 9). Das Hexadezimalsystem enthält dagegen 16 Ziffern. Seit Mitte der 1950er Jahre werden zur Darstellung der sechs zusätzlichen Ziffern die Buchstaben A bis F oder a bis f als Zahlzeichen verwendet. Dies geht auf die damalige Praxis der IBM-Informatiker zurück. So lassen sich mit einer einstelligen hexadezimalen Zahl die Dezimalzahlenwerte von 0 bis 15 darstellen:

hexadezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
dual	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellung von Hexadezimalzahlen
2 Zählen im Hexadezimalsystem
3 Anwendung
4 Konvertierung in andere Zahlensysteme
- 4.1 Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen
- 4.2 Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen
5 Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems
6 Siehe auch
7 Weblinks

[Bearbeiten] Darstellung von Hexadezimalzahlen

Um eine hexadezimale Zahl von einer normalen Dezimalzahl unterscheiden zu können, existieren mehrere Schreibweisen. Üblicherweise wird die hexadezimale Zahl mit einem Präfix oder Suffix versehen.

Verbreitete Schreibweisen sind zum Beispiel: 72₁₆, 72_H, 0x72, "72, 72h und $72.

Längere Zahlen werden auch in Hexadezimaldarstellung leicht unübersichtlich, so dass man Trennzeichen wie die Tausenderpunkte bei Dezimaldarstellung (im Deutschen, Kommata im Englischen) einführt, nur hier eher alle vier Stellen: AFFE.0815 . Hierfür gibt es allerdings keine feste Konvention, so dass auch hierbei Varianten vorkommen.

Zum Vergleich: Dezimale Zahlen werden, wenn eine Unterscheidung notwendig ist, zum Beispiel 114₁₀ oder 114_D geschrieben. Oktale Zahlen werden meist durch eine obligatorische führende Null gekennzeichnet, zum Beispiel 017.

[Bearbeiten] Zählen im Hexadezimalsystem

Gezählt wird wie folgt:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	2A	2B	2C	2D	2E	2F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	FA	FB	FC	FD	FE	FF
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
FF0	FF1	FF2	FF3	FF4	FF5	FF6	FF7	FF8	FF9	FFA	FFB	FFC	FFD	FFE	FFF
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
FFF0	FFF1	FFF2	FFF3	FFF4	FFF5	FFF6	FFF7	FFF8	FFF9	FFFA	FFFB	FFFC	FFFD	FFFE	FFFF
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Für die hexadezimalen Ziffern und Zahlen sind keine eigenständigen Namen gebräuchlich. Hexadezimalzahlen werden daher Ziffer für Ziffer gelesen.

Beispiele:

2F sprich: „zwei-eff“,
112 sprich: „eins-eins-zwei“.

[Bearbeiten] Anwendung

Das Hexadezimalsystem eignet sich sehr gut, um Folgen von Bits (verwendet in der Digitaltechnik) darzustellen. Vier Stellen einer Bitfolge (ein Nibble, auch Tetrade) werden wie eine Dualzahl interpretiert und entsprechen so einer Ziffer des Hexadezimalsystems, da 16 die vierte Potenz von 2 ist. Die Hexadezimaldarstellung der Bitfolgen ist leichter zu lesen und schneller zu schreiben:

                                   Dual      Hexadezimal      Dezimal
                                   1111  =             F      15      (ein Nibble)
                                 1.1111  =            1F      31
                      11.0111.1100.0101  =          37C5      14277
                    1010.1100.1010.1011  =          ACAB      44203
1010.1111.1111.1110.0000.1000.0001.0101  =      AFFE0815      2952661013

Computersoftware stellt daher Maschinensprache oft auf diese Weise dar.

[Bearbeiten] Konvertierung in andere Zahlensysteme

[Bearbeiten] Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen

Eine Möglichkeit, eine Zahl des Dezimalsystems in eine Zahl des Hexadezimalsystems umzurechnen, ist die Betrachtung der Divisionsreste, die entstehen, wenn die Zahl durch die Basis 16 geteilt wird.

Im Beispiel der 1278₁₀ sähe das so aus:

1278 : 16 = 79 Rest 14 (= E) (Nr:1278-(79*16)=14)
  79 : 16 =  4 Rest 15 (= F) (Nr:79-(4*16)=15)
   4 : 16 =  0 Rest  4       (Nr:4-(0*16)=4)

Die Hexadezimalzahl wird von unten nach oben gelesen und ergibt somit 4.F.E.

[Bearbeiten] Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der Zahl vor dem Komma eine Null zugeordnet wird. Dazu muss man allerdings noch die Ziffern A, B, C, D, E, F in die entsprechenden Dezimalzahlen 10, 11, 12, 13, 14, 15 umwandeln.

Beispiel für 4FE₁₆:

$4 \cdot 16^2 + 15 \cdot 16^1 + 14 \cdot 16^0 = 1278_{(10)}$

Für das Zählen und Rechnen im Hexadezimalsystem gibt es eine Eselsbrücke: A = 10 und B = 11 kann sich jeder merken. C wie zwölf, D wie dreizehn, E für vierzehn kommt vor F wie fünfzehn.

[Bearbeiten] Mathematische Darstellung des Hexadezimalsystems

Formuliert im Dezimalsystem:

$h_m h_{m-1} \cdots h_0, h_{-1} h_{-2} \cdots h_{-n} = \sum_{i=-n}^m h_i \cdot {(16_{10})}^i \qquad m,n\in\mathbb{N}\quad h_i\in\{0;1;\cdots ;15\}$

Formuliert im Hexadezimalsystem:

$h_m h_{m-1} \cdots h_0, h_{-1} h_{-2} \cdots h_{-n} = \sum_{i=-n}^m h_i \cdot {(10_{16})}^i \qquad m,n\in\mathbb{N}\quad h_i\in\{0;1;\cdots ;9;A;\cdots;F\}$