Zahlensystem

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Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt. Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen Additionssystemen und Stellenwertsystemen (Positionssystemen).

Inhaltsverzeichnis

1 Additionssysteme
- 1.1 Beispiele
2 Stellenwertsysteme
- 2.1 Eigenschaften
- 2.2 Beispiele
3 Literatur
4 Weblink

[Bearbeiten] Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle.

[Bearbeiten] Beispiele

Ein Beispiel ist das Strichsystem (Unärsystem), welches gerne auf Bierdeckeln eingesetzt wird (die Zahl n dezimal wird durch n Striche dargestellt). Das Unärsystem braucht für die Darstellung großer Zahlen jedoch sehr viel Platz.

Ein weiteres Beispiel sind die Römischen Zahlen mit den Ziffern I, V, X, L, C, D und M. Diesen entsprechen die Werte 1, 5, 10, 50, 100, 500 und 1000. Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert. 2002 wird zum Beispiel als MMII dargestellt. Da solche Zahlen sehr lang werden können, wurde das System später modifiziert, so dass Ziffern nur dreimal hintereinander auftreten dürfen. Eine kleinere Ziffer die vor einer größeren steht, wird von dieser abgezogen. So wurde VIIII zu IX.

Abweichend von dieser Regel (und dem heute weit verbreiteten Gebrauch) wurde die 4 von den Römern nicht als IV, sondern als IIII geschrieben (auf Uhren ist diese Schreibweise bis heute üblich), da die Zeichenfolge IV als Kürzel für den höchsten Gott Jupiter reserviert war.

Das römische Zahlensystem wurde bis ins 15. Jahrhundert allgemein in Europa verwendet. Ein großer Nachteil ist vor allem, dass sich keine 0 darstellen lässt.

[Bearbeiten] Stellenwertsysteme

In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) impliziert die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer. Die 'niederwertigste' Position steht dabei im Allgemeinen rechts.

Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b. Jede Zifferposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die n-te Position hat man einen Wert von b^n-1.

Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt durch Multiplikation der einzelnen Ziffern z_i mit den zugehörigen Stellenwerten bⁱ und Summation dieser Produkte:

Zahlenwert = $z_n \cdot b^n + \ldots + z_i \cdot b^i + \ldots + z_0 \cdot b^0$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Für die Darstellung werden Ziffern benötigt, die von 0 bis b-1 laufen.
Die Zifferposition bestimmt den Stellenwert bⁿ.
Zwei benachbarte Stellenwerte unterscheiden sich um den Faktor b.
Der Zahlenwert ergibt sich aus der Summation aller Ziffern, welche zuerst mit ihrem entsprechenden Stellenwert multipliziert worden sind.

[Bearbeiten] Beispiele

Das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (oder 10er-System) mit Basis 10, und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische.

Das Vigesimalsystem verwendet als Basis die Zahl Zwanzig.

Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (ein binäres Zahlensystem), also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1, ein. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da deren Logik allein auf Bits, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist.

Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang sind, werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen verwendet, die mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F) arbeiten. Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen (= 1 Nibble) einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen. In der Computertechnik werden das Binärsystem, das Oktalsystem und das Hexadezimalsystem verwendet.

Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung. In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in 3 oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die 3 galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).

Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis von 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).

Bei einigen Naturvölkern sind auch noch Zahlensysteme zu anderen Basen gefunden worden. Vergleichsweise weit verbreitet ist das System zur Basis 20. Bei diesen Völkern werden in der Regel zum Zählen neben den Fingern auch noch die Füße verwendet. Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde aber bisher nirgendwo entdeckt. In Neuseeland war hingegen das System zur Basis 11 üblich und einige Völker benutzen das System zur Basis 18.

Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur Ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:

$1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2} = 1234,56$

Die Ziffern einer rationalen Zahl p/q erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division. Im 10er-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Hat q zur Basis b teilerfremde Primfaktoren, bricht die schriftliche Division nicht ab, sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. Diese wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet, z. B.

$\frac{5}{6} = 0{,}83333\ldots = 0{,}8\overline{3}$ .

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming.

Eine andere Darstellung für rationale und irrationale Zahlen ist der Kettenbruch, welcher bessere Approximationen liefert als die Stellenwertsysteme.

Zahlensysteme

[Bearbeiten] Literatur

Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2., durchgesehene u. um einem Register erweiterte Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9
John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6