Косинусова теорема

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на произволна страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни, минус удвоеното произведение на тези страни умножено по косинуса на ъгъла между тях.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha$ .

[редактиране] Доказателство

Нека да рагледаме триъгълника ABC. От върха C към страната AB е спусната височината CD (вж. Рис. 1). От триъгълника АDC следва:

Рис. 1

$AD = b \cos \, \alpha$ ,

$DB = c - b \cos \, \alpha$

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника ADC и BDC:

$h^2 = b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)$

$h^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2 \qquad \qquad (2)$

Приравняваме десните части на уравненията (1) и (2) и:

$b^2 - (b \cos \, \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \, \alpha)^2$

или

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \, \alpha$ .

За страните b и c косинусовата теорема изглежда така:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \, \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \, \gamma$ .

[редактиране] Вижте също

Синусова теорема

Взето от „http://bg.wikipedia.org../../../%D0%BA/%D0%BE/%D1%81/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0.html“.

Категории: Тригонометрия

Views

Търсене

На други езици

Последната промяна на страницата е извършена от Анонимен потребител(и) на Уикипедия на 17:19, 17 октомври 2006. Основаващо се върху работа на потребителите на Уикипедия YurikBot, Ikonact и Darsie.
Текстовото съдържание е достъпно при условията на Лиценза за свободна документация на ГНУ.
За Уикипедия
Условия за ползване